Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58485 / 88141
↖ ↑ ↗
← S 52.611387°
W 19.366150°		 ← 185.46 m → S 52.611387°
W 19.363403°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
S 52.613055°
W 19.366150°		 ← 185.45 m →
34 395 m²		 S 52.613055°
W 19.363403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446208953857422 y=0.672466278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446208953857422 × 217)
    floor (0.446208953857422 × 131072)
    floor (58485.5)     		tx = 58485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672466278076172 × 217)
    floor (0.672466278076172 × 131072)
    floor (88141.5)     		ty = 88141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58485 / 88141 ti = "17/58485/88141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58485/88141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58485 ÷ 217
    58485 ÷ 131072     		x = 0.446205139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88141 ÷ 217
    88141 ÷ 131072     		y = 0.672462463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446205139160156 × 2 - 1) × π
    -0.107589721679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33800308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672462463378906 × 2 - 1) × π
    -0.344924926757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.08361361591137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33800308} λ = -0.33800308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08361361591137))-π/2
    2×atan(0.338370572438213)-π/2
    2×0.326277198090335-π/2
    0.652554396180669-1.57079632675     		φ = -0.91824193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33800308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.366150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91824193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.611387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58485 KachelY 88141 -0.33800308 -0.91824193 -19.366150 -52.611387
    Oben rechts KachelX + 1 58486 KachelY 88141 -0.33795514 -0.91824193 -19.363403 -52.611387
    Unten links KachelX 58485 KachelY + 1 88142 -0.33800308 -0.91827104 -19.366150 -52.613055
    Unten rechts KachelX + 1 58486 KachelY + 1 88142 -0.33795514 -0.91827104 -19.363403 -52.613055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91824193--0.91827104) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91824193--0.91827104) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33800308--0.33795514) × cos(-0.91824193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607217943025773 × 6371000     		do = 185.459989590018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33800308--0.33795514) × cos(-0.91827104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607194813845428 × 6371000     		du = 185.452925342995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91824193)-sin(-0.91827104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607217943025773-0.607194813845428)×R²
    abs(-0.33795514--0.33800308)×2.31291803450828e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31291803450828e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31291803450828e-05×40589641000000     		ar = 34394.7193674786m²