Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58484 / 88116
↖ ↑ ↗
← S 52.569673°
W 19.368897°		 ← 185.64 m → S 52.569673°
W 19.366150°		 →
↑
185.65 m
↓
↑
185.65 m
↓
S 52.571343°
W 19.368897°		 ← 185.63 m →
34 463 m²		 S 52.571343°
W 19.366150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446201324462891 y=0.672275543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446201324462891 × 217)
    floor (0.446201324462891 × 131072)
    floor (58484.5)     		tx = 58484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672275543212891 × 217)
    floor (0.672275543212891 × 131072)
    floor (88116.5)     		ty = 88116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58484 / 88116 ti = "17/58484/88116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58484/88116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58484 ÷ 217
    58484 ÷ 131072     		x = 0.446197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88116 ÷ 217
    88116 ÷ 131072     		y = 0.672271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33805102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.34454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08241519342087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33805102} λ = -0.33805102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08241519342087))-π/2
    2×atan(0.338776326426137)-π/2
    2×0.326641223160514-π/2
    0.653282446321027-1.57079632675     		φ = -0.91751388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33805102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.368897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91751388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.569673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58484 KachelY 88116 -0.33805102 -0.91751388 -19.368897 -52.569673
    Oben rechts KachelX + 1 58485 KachelY 88116 -0.33800308 -0.91751388 -19.366150 -52.569673
    Unten links KachelX 58484 KachelY + 1 88117 -0.33805102 -0.91754302 -19.368897 -52.571343
    Unten rechts KachelX + 1 58485 KachelY + 1 88117 -0.33800308 -0.91754302 -19.366150 -52.571343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91751388--0.91754302) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dl = 185.650939999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91751388--0.91754302) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dr = 185.650939999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33805102--0.33800308) × cos(-0.91751388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607796243482084 × 6371000     		do = 185.636617434614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33805102--0.33800308) × cos(-0.91754302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607773103353396 × 6371000     		du = 185.629549843686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91751388)-sin(-0.91754302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607796243482084-0.607773103353396)×R²
    abs(-0.33800308--0.33805102)×2.31401286879818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31401286879818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31401286879818e-05×40589641000000     		ar = 34462.9564750551m²