Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58483 / 88117
↖ ↑ ↗
← S 52.571343°
W 19.371643°		 ← 185.59 m → S 52.571343°
W 19.368897°		 →
↑
185.59 m
↓
↑
185.59 m
↓
S 52.573012°
W 19.371643°		 ← 185.58 m →
34 443 m²		 S 52.573012°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446193695068359 y=0.672283172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446193695068359 × 217)
    floor (0.446193695068359 × 131072)
    floor (58483.5)     		tx = 58483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672283172607422 × 217)
    floor (0.672283172607422 × 131072)
    floor (88117.5)     		ty = 88117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58483 / 88117 ti = "17/58483/88117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58483/88117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58483 ÷ 217
    58483 ÷ 131072     		x = 0.446189880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88117 ÷ 217
    88117 ÷ 131072     		y = 0.672279357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446189880371094 × 2 - 1) × π
    -0.107620239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33809895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672279357910156 × 2 - 1) × π
    -0.344558715820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.08246313032049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33809895} λ = -0.33809895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08246313032049))-π/2
    2×atan(0.338760086928622)-π/2
    2×0.326626655504039-π/2
    0.653253311008077-1.57079632675     		φ = -0.91754302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33809895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.371643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91754302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.571343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58483 KachelY 88117 -0.33809895 -0.91754302 -19.371643 -52.571343
    Oben rechts KachelX + 1 58484 KachelY 88117 -0.33805102 -0.91754302 -19.368897 -52.571343
    Unten links KachelX 58483 KachelY + 1 88118 -0.33809895 -0.91757215 -19.371643 -52.573012
    Unten rechts KachelX + 1 58484 KachelY + 1 88118 -0.33805102 -0.91757215 -19.368897 -52.573012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91754302--0.91757215) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dl = 185.587230000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91754302--0.91757215) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dr = 185.587230000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33809895--0.33805102) × cos(-0.91754302) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607773103353396 × 6371000     		do = 185.590828619506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33809895--0.33805102) × cos(-0.91757215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607749970649908 × 6371000     		du = 185.58376477021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91754302)-sin(-0.91757215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607773103353396-0.607749970649908)×R²
    abs(-0.33805102--0.33809895)×2.31327034879714e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31327034879714e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31327034879714e-05×40589641000000     		ar = 34442.6323193113m²