Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58483 / 88114
↖ ↑ ↗
← S 52.566334°
W 19.371643°		 ← 185.61 m → S 52.566334°
W 19.368897°		 →
↑
185.59 m
↓
↑
185.59 m
↓
S 52.568003°
W 19.371643°		 ← 185.60 m →
34 447 m²		 S 52.568003°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446193695068359 y=0.672260284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446193695068359 × 217)
    floor (0.446193695068359 × 131072)
    floor (58483.5)     		tx = 58483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672260284423828 × 217)
    floor (0.672260284423828 × 131072)
    floor (88114.5)     		ty = 88114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58483 / 88114 ti = "17/58483/88114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58483/88114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58483 ÷ 217
    58483 ÷ 131072     		x = 0.446189880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88114 ÷ 217
    88114 ÷ 131072     		y = 0.672256469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446189880371094 × 2 - 1) × π
    -0.107620239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33809895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672256469726562 × 2 - 1) × π
    -0.344512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08231931962163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33809895} λ = -0.33809895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08231931962163))-π/2
    2×atan(0.338808807756673)-π/2
    2×0.326670360137117-π/2
    0.653340720274234-1.57079632675     		φ = -0.91745561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33809895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.371643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91745561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.566334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58483 KachelY 88114 -0.33809895 -0.91745561 -19.371643 -52.566334
    Oben rechts KachelX + 1 58484 KachelY 88114 -0.33805102 -0.91745561 -19.368897 -52.566334
    Unten links KachelX 58483 KachelY + 1 88115 -0.33809895 -0.91748474 -19.371643 -52.568003
    Unten rechts KachelX + 1 58484 KachelY + 1 88115 -0.33805102 -0.91748474 -19.368897 -52.568003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91745561--0.91748474) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dl = 185.587230000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91745561--0.91748474) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dr = 185.587230000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33809895--0.33805102) × cos(-0.91745561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607842514250553 × 6371000     		do = 185.612024071966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33809895--0.33805102) × cos(-0.91748474) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607819383094669 × 6371000     		du = 185.604960695249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91745561)-sin(-0.91748474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607842514250553-0.607819383094669)×R²
    abs(-0.33805102--0.33809895)×2.31311558847036e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31311558847036e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31311558847036e-05×40589641000000     		ar = 34446.565968605m²