Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58480 / 88239
↖ ↑ ↗
← S 52.774524°
W 19.379883°		 ← 184.73 m → S 52.774524°
W 19.377136°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
S 52.776186°
W 19.379883°		 ← 184.72 m →
34 130 m²		 S 52.776186°
W 19.377136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446170806884766 y=0.673213958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446170806884766 × 217)
    floor (0.446170806884766 × 131072)
    floor (58480.5)     		tx = 58480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673213958740234 × 217)
    floor (0.673213958740234 × 131072)
    floor (88239.5)     		ty = 88239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58480 / 88239 ti = "17/58480/88239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58480/88239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58480 ÷ 217
    58480 ÷ 131072     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88239 ÷ 217
    88239 ÷ 131072     		y = 0.673210144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673210144042969 × 2 - 1) × π
    -0.346420288085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.08831143207413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08831143207413))-π/2
    2×atan(0.336784697684651)-π/2
    2×0.324853559462918-π/2
    0.649707118925836-1.57079632675     		φ = -0.92108921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92108921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.774524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58480 KachelY 88239 -0.33824276 -0.92108921 -19.379883 -52.774524
    Oben rechts KachelX + 1 58481 KachelY 88239 -0.33819483 -0.92108921 -19.377136 -52.774524
    Unten links KachelX 58480 KachelY + 1 88240 -0.33824276 -0.92111821 -19.379883 -52.776186
    Unten rechts KachelX + 1 58481 KachelY + 1 88240 -0.33819483 -0.92111821 -19.377136 -52.776186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92108921--0.92111821) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dl = 184.759000000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92108921--0.92111821) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dr = 184.759000000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33819483) × cos(-0.92108921) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.604953220208305 × 6371000     		do = 184.729743377744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33819483) × cos(-0.92111821) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.604930128384539 × 6371000     		du = 184.722692011563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92108921)-sin(-0.92111821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604953220208305-0.604930128384539)×R²
    abs(-0.33819483--0.33824276)×2.30918237664746e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30918237664746e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30918237664746e-05×40589641000000     		ar = 34129.8312574978m²