Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58478 / 88577
↖ ↑ ↗
← S 53.332513°
W 19.385376°		 ← 182.39 m → S 53.332513°
W 19.382629°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
S 53.334153°
W 19.385376°		 ← 182.38 m →
33 268 m²		 S 53.334153°
W 19.382629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446155548095703 y=0.675792694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446155548095703 × 217)
    floor (0.446155548095703 × 131072)
    floor (58478.5)     		tx = 58478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675792694091797 × 217)
    floor (0.675792694091797 × 131072)
    floor (88577.5)     		ty = 88577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58478 / 88577 ti = "17/58478/88577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58478/88577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58478 ÷ 217
    58478 ÷ 131072     		x = 0.446151733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88577 ÷ 217
    88577 ÷ 131072     		y = 0.675788879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446151733398438 × 2 - 1) × π
    -0.107696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33833864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675788879394531 × 2 - 1) × π
    -0.351577758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.10451410414571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33833864} λ = -0.33833864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10451410414571))-π/2
    2×atan(0.331371855341471)-π/2
    2×0.319984186632493-π/2
    0.639968373264987-1.57079632675     		φ = -0.93082795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33833864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.385376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93082795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.332513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58478 KachelY 88577 -0.33833864 -0.93082795 -19.385376 -53.332513
    Oben rechts KachelX + 1 58479 KachelY 88577 -0.33829070 -0.93082795 -19.382629 -53.332513
    Unten links KachelX 58478 KachelY + 1 88578 -0.33833864 -0.93085658 -19.385376 -53.334153
    Unten rechts KachelX + 1 58479 KachelY + 1 88578 -0.33829070 -0.93085658 -19.382629 -53.334153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93082795--0.93085658) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dl = 182.401730000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93082795--0.93085658) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dr = 182.401730000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33833864--0.33829070) × cos(-0.93082795) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.597170076225126 × 6371000     		do = 182.391112437007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33833864--0.33829070) × cos(-0.93085658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.597147111438165 × 6371000     		du = 182.384098399956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93082795)-sin(-0.93085658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597170076225126-0.597147111438165)×R²
    abs(-0.33829070--0.33833864)×2.29647869611771e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29647869611771e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29647869611771e-05×40589641000000     		ar = 33267.8147612506m²