Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58476 / 89700
↖ ↑ ↗
← S 55.134930°
W 19.390869°		 ← 174.60 m → S 55.134930°
W 19.388122°		 →
↑
174.57 m
↓
↑
174.57 m
↓
S 55.136500°
W 19.390869°		 ← 174.59 m →
30 478 m²		 S 55.136500°
W 19.388122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446140289306641 y=0.684360504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446140289306641 × 217)
    floor (0.446140289306641 × 131072)
    floor (58476.5)     		tx = 58476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684360504150391 × 217)
    floor (0.684360504150391 × 131072)
    floor (89700.5)     		ty = 89700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58476 / 89700 ti = "17/58476/89700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58476/89700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58476 ÷ 217
    58476 ÷ 131072     		x = 0.446136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89700 ÷ 217
    89700 ÷ 131072     		y = 0.684356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.10772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33843451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.36871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15834724241904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33843451} λ = -0.33843451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15834724241904))-π/2
    2×atan(0.314004725941186)-π/2
    2×0.304255134033005-π/2
    0.60851026806601-1.57079632675     		φ = -0.96228606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33843451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.390869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96228606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.134930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58476 KachelY 89700 -0.33843451 -0.96228606 -19.390869 -55.134930
    Oben rechts KachelX + 1 58477 KachelY 89700 -0.33838657 -0.96228606 -19.388122 -55.134930
    Unten links KachelX 58476 KachelY + 1 89701 -0.33843451 -0.96231346 -19.390869 -55.136500
    Unten rechts KachelX + 1 58477 KachelY + 1 89701 -0.33838657 -0.96231346 -19.388122 -55.136500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96228606--0.96231346) × R
    2.73999999998997e-05 × 6371000     		dl = 174.565399999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96228606--0.96231346) × R
    2.73999999998997e-05 × 6371000     		dr = 174.565399999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33843451--0.33838657) × cos(-0.96228606) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.571645767999751 × 6371000     		do = 174.59533170928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33843451--0.33838657) × cos(-0.96231346) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.571623286070711 × 6371000     		du = 174.588465149466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96228606)-sin(-0.96231346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571645767999751-0.571623286070711)×R²
    abs(-0.33838657--0.33843451)×2.24819290399747e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24819290399747e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24819290399747e-05×40589641000000     		ar = 30477.7045879086m²