Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58476 / 88140
↖ ↑ ↗
← S 52.609719°
W 19.390869°		 ← 185.47 m → S 52.609719°
W 19.388122°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
S 52.611387°
W 19.390869°		 ← 185.46 m →
34 396 m²		 S 52.611387°
W 19.388122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446140289306641 y=0.672458648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446140289306641 × 217)
    floor (0.446140289306641 × 131072)
    floor (58476.5)     		tx = 58476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672458648681641 × 217)
    floor (0.672458648681641 × 131072)
    floor (88140.5)     		ty = 88140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58476 / 88140 ti = "17/58476/88140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58476/88140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58476 ÷ 217
    58476 ÷ 131072     		x = 0.446136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88140 ÷ 217
    88140 ÷ 131072     		y = 0.672454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.10772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33843451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.34490966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08356567901175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33843451} λ = -0.33843451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08356567901175))-π/2
    2×atan(0.338386793263164)-π/2
    2×0.32629175244028-π/2
    0.65258350488056-1.57079632675     		φ = -0.91821282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33843451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.390869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91821282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.609719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58476 KachelY 88140 -0.33843451 -0.91821282 -19.390869 -52.609719
    Oben rechts KachelX + 1 58477 KachelY 88140 -0.33838657 -0.91821282 -19.388122 -52.609719
    Unten links KachelX 58476 KachelY + 1 88141 -0.33843451 -0.91824193 -19.390869 -52.611387
    Unten rechts KachelX + 1 58477 KachelY + 1 88141 -0.33838657 -0.91824193 -19.388122 -52.611387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91821282--0.91824193) × R
    2.91099999999433e-05 × 6371000     		dl = 185.459809999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91821282--0.91824193) × R
    2.91099999999433e-05 × 6371000     		dr = 185.459809999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33843451--0.33838657) × cos(-0.91821282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607241071691566 × 6371000     		do = 185.467053679883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33843451--0.33838657) × cos(-0.91824193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607217943025773 × 6371000     		du = 185.459989590018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91821282)-sin(-0.91824193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607241071691566-0.607217943025773)×R²
    abs(-0.33838657--0.33843451)×2.31286657933483e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31286657933483e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31286657933483e-05×40589641000000     		ar = 34396.0294866668m²