Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58468 / 87589
↖ ↑ ↗
← S 51.681071°
W 19.412842°		 ← 189.38 m → S 51.681071°
W 19.410095°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
S 51.682774°
W 19.412842°		 ← 189.37 m →
35 857 m²		 S 51.682774°
W 19.410095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446079254150391 y=0.668254852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446079254150391 × 217)
    floor (0.446079254150391 × 131072)
    floor (58468.5)     		tx = 58468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668254852294922 × 217)
    floor (0.668254852294922 × 131072)
    floor (87589.5)     		ty = 87589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58468 / 87589 ti = "17/58468/87589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58468/87589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58468 ÷ 217
    58468 ÷ 131072     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87589 ÷ 217
    87589 ÷ 131072     		y = 0.668251037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668251037597656 × 2 - 1) × π
    -0.336502075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.0571524473211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0571524473211))-π/2
    2×atan(0.347443767463299)-π/2
    2×0.334395739510397-π/2
    0.668791479020794-1.57079632675     		φ = -0.90200485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90200485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.681071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58468 KachelY 87589 -0.33881801 -0.90200485 -19.412842 -51.681071
    Oben rechts KachelX + 1 58469 KachelY 87589 -0.33877007 -0.90200485 -19.410095 -51.681071
    Unten links KachelX 58468 KachelY + 1 87590 -0.33881801 -0.90203457 -19.412842 -51.682774
    Unten rechts KachelX + 1 58469 KachelY + 1 87590 -0.33877007 -0.90203457 -19.410095 -51.682774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90200485--0.90203457) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90200485--0.90203457) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33877007) × cos(-0.90200485) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620038267111504 × 6371000     		do = 189.375646560944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33877007) × cos(-0.90203457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620014949370636 × 6371000     		du = 189.368524722684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90200485)-sin(-0.90203457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620038267111504-0.620014949370636)×R²
    abs(-0.33877007--0.33881801)×2.33177408686114e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33177408686114e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33177408686114e-05×40589641000000     		ar = 35856.8696551713m²