Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58463 / 88079
↖ ↑ ↗
← S 52.507863°
W 19.426575°		 ← 185.90 m → S 52.507863°
W 19.423828°		 →
↑
185.91 m
↓
↑
185.91 m
↓
S 52.509535°
W 19.426575°		 ← 185.89 m →
34 559 m²		 S 52.509535°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446041107177734 y=0.671993255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446041107177734 × 217)
    floor (0.446041107177734 × 131072)
    floor (58463.5)     		tx = 58463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671993255615234 × 217)
    floor (0.671993255615234 × 131072)
    floor (88079.5)     		ty = 88079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58463 / 88079 ti = "17/58463/88079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58463/88079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58463 ÷ 217
    58463 ÷ 131072     		x = 0.446037292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88079 ÷ 217
    88079 ÷ 131072     		y = 0.671989440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446037292480469 × 2 - 1) × π
    -0.107925415039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33905769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671989440917969 × 2 - 1) × π
    -0.343978881835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.08064152813493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33905769} λ = -0.33905769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08064152813493))-π/2
    2×atan(0.339377735427488)-π/2
    2×0.327180616371088-π/2
    0.654361232742176-1.57079632675     		φ = -0.91643509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33905769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.426575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91643509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.507863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58463 KachelY 88079 -0.33905769 -0.91643509 -19.426575 -52.507863
    Oben rechts KachelX + 1 58464 KachelY 88079 -0.33900975 -0.91643509 -19.423828 -52.507863
    Unten links KachelX 58463 KachelY + 1 88080 -0.33905769 -0.91646427 -19.426575 -52.509535
    Unten rechts KachelX + 1 58464 KachelY + 1 88080 -0.33900975 -0.91646427 -19.423828 -52.509535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91643509--0.91646427) × R
    2.9179999999962e-05 × 6371000     		dl = 185.905779999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91643509--0.91646427) × R
    2.9179999999962e-05 × 6371000     		dr = 185.905779999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33905769--0.33900975) × cos(-0.91643509) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608652549253413 × 6371000     		do = 185.898155258703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33905769--0.33900975) × cos(-0.91646427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608629396506284 × 6371000     		du = 185.891083813779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91643509)-sin(-0.91646427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608652549253413-0.608629396506284)×R²
    abs(-0.33900975--0.33905769)×2.31527471287185e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31527471287185e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31527471287185e-05×40589641000000     		ar = 34558.8842451429m²