Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58462 / 89200
↖ ↑ ↗
← S 54.342149°
W 19.429321°		 ← 178.05 m → S 54.342149°
W 19.426575°		 →
↑
178.01 m
↓
↑
178.01 m
↓
S 54.343750°
W 19.429321°		 ← 178.04 m →
31 693 m²		 S 54.343750°
W 19.426575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446033477783203 y=0.680545806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446033477783203 × 217)
    floor (0.446033477783203 × 131072)
    floor (58462.5)     		tx = 58462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680545806884766 × 217)
    floor (0.680545806884766 × 131072)
    floor (89200.5)     		ty = 89200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58462 / 89200 ti = "17/58462/89200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58462/89200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58462 ÷ 217
    58462 ÷ 131072     		x = 0.446029663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89200 ÷ 217
    89200 ÷ 131072     		y = 0.6805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446029663085938 × 2 - 1) × π
    -0.107940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33910563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6805419921875 × 2 - 1) × π
    -0.361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13437879260901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33910563} λ = -0.33910563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13437879260901))-π/2
    2×atan(0.321621853162813)-π/2
    2×0.311173453259832-π/2
    0.622346906519664-1.57079632675     		φ = -0.94844942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33910563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.429321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94844942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.342149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58462 KachelY 89200 -0.33910563 -0.94844942 -19.429321 -54.342149
    Oben rechts KachelX + 1 58463 KachelY 89200 -0.33905769 -0.94844942 -19.426575 -54.342149
    Unten links KachelX 58462 KachelY + 1 89201 -0.33910563 -0.94847736 -19.429321 -54.343750
    Unten rechts KachelX + 1 58463 KachelY + 1 89201 -0.33905769 -0.94847736 -19.426575 -54.343750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94844942--0.94847736) × R
    2.79400000000596e-05 × 6371000     		dl = 178.00574000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94844942--0.94847736) × R
    2.79400000000596e-05 × 6371000     		dr = 178.00574000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33910563--0.33905769) × cos(-0.94844942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582943655502188 × 6371000     		do = 178.045997359944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33910563--0.33905769) × cos(-0.94847736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582920953673138 × 6371000     		du = 178.039063637007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94844942)-sin(-0.94847736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582943655502188-0.582920953673138)×R²
    abs(-0.33905769--0.33910563)×2.27018290497316e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27018290497316e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27018290497316e-05×40589641000000     		ar = 31692.592394942m²