Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58460 / 87868
↖ ↑ ↗
← S 52.153714°
W 19.434814°		 ← 187.39 m → S 52.153714°
W 19.432068°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
S 52.155400°
W 19.434814°		 ← 187.39 m →
35 123 m²		 S 52.155400°
W 19.432068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446018218994141 y=0.670383453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446018218994141 × 217)
    floor (0.446018218994141 × 131072)
    floor (58460.5)     		tx = 58460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670383453369141 × 217)
    floor (0.670383453369141 × 131072)
    floor (87868.5)     		ty = 87868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58460 / 87868 ti = "17/58460/87868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58460/87868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58460 ÷ 217
    58460 ÷ 131072     		x = 0.446014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87868 ÷ 217
    87868 ÷ 131072     		y = 0.670379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.10797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33920150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.34075927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07052684231509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33920150} λ = -0.33920150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07052684231509))-π/2
    2×atan(0.342827853612141)-π/2
    2×0.330271146175108-π/2
    0.660542292350217-1.57079632675     		φ = -0.91025403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33920150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.434814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91025403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.153714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58460 KachelY 87868 -0.33920150 -0.91025403 -19.434814 -52.153714
    Oben rechts KachelX + 1 58461 KachelY 87868 -0.33915356 -0.91025403 -19.432068 -52.153714
    Unten links KachelX 58460 KachelY + 1 87869 -0.33920150 -0.91028345 -19.434814 -52.155400
    Unten rechts KachelX + 1 58461 KachelY + 1 87869 -0.33915356 -0.91028345 -19.432068 -52.155400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91025403--0.91028345) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dl = 187.434819999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91025403--0.91028345) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dr = 187.434819999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33920150--0.33915356) × cos(-0.91025403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613545172053088 × 6371000     		do = 187.392488197619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33920150--0.33915356) × cos(-0.91028345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613521940001429 × 6371000     		du = 187.385392531049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91025403)-sin(-0.91028345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613545172053088-0.613521940001429)×R²
    abs(-0.33915356--0.33920150)×2.32320516588835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32320516588835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32320516588835e-05×40589641000000     		ar = 35123.2123095934m²