Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58460 / 87731
↖ ↑ ↗
← S 51.922250°
W 19.434814°		 ← 188.37 m → S 51.922250°
W 19.432068°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
S 51.923943°
W 19.434814°		 ← 188.36 m →
35 474 m²		 S 51.923943°
W 19.432068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446018218994141 y=0.669338226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446018218994141 × 217)
    floor (0.446018218994141 × 131072)
    floor (58460.5)     		tx = 58460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669338226318359 × 217)
    floor (0.669338226318359 × 131072)
    floor (87731.5)     		ty = 87731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58460 / 87731 ti = "17/58460/87731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58460/87731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58460 ÷ 217
    58460 ÷ 131072     		x = 0.446014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87731 ÷ 217
    87731 ÷ 131072     		y = 0.669334411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.10797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33920150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669334411621094 × 2 - 1) × π
    -0.338668823242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.06395948706715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33920150} λ = -0.33920150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06395948706715))-π/2
    2×atan(0.345086735235926)-π/2
    2×0.332291058323677-π/2
    0.664582116647354-1.57079632675     		φ = -0.90621421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33920150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.434814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90621421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.922250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58460 KachelY 87731 -0.33920150 -0.90621421 -19.434814 -51.922250
    Oben rechts KachelX + 1 58461 KachelY 87731 -0.33915356 -0.90621421 -19.432068 -51.922250
    Unten links KachelX 58460 KachelY + 1 87732 -0.33920150 -0.90624377 -19.434814 -51.923943
    Unten rechts KachelX + 1 58461 KachelY + 1 87732 -0.33915356 -0.90624377 -19.432068 -51.923943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90621421--0.90624377) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dl = 188.326759999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90621421--0.90624377) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dr = 188.326759999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33920150--0.33915356) × cos(-0.90621421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61673023955194 × 6371000     		do = 188.365289795405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33920150--0.33915356) × cos(-0.90624377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616706970402057 × 6371000     		du = 188.358182798083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90621421)-sin(-0.90624377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61673023955194-0.616706970402057)×R²
    abs(-0.33915356--0.33920150)×2.32691498828208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32691498828208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32691498828208e-05×40589641000000     		ar = 35473.5555073341m²