Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58459 / 86942
↖ ↑ ↗
← S 50.565794°
W 19.437561°		 ← 194 m → S 50.565794°
W 19.434814°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
S 50.567538°
W 19.437561°		 ← 194 m →
37 635 m²		 S 50.567538°
W 19.434814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446010589599609 y=0.663318634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446010589599609 × 217)
    floor (0.446010589599609 × 131072)
    floor (58459.5)     		tx = 58459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663318634033203 × 217)
    floor (0.663318634033203 × 131072)
    floor (86942.5)     		ty = 86942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58459 / 86942 ti = "17/58459/86942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58459/86942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58459 ÷ 217
    58459 ÷ 131072     		x = 0.446006774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86942 ÷ 217
    86942 ÷ 131072     		y = 0.663314819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446006774902344 × 2 - 1) × π
    -0.107986450195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33924944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663314819335938 × 2 - 1) × π
    -0.326629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02613727326692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33924944} λ = -0.33924944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02613727326692))-π/2
    2×atan(0.35838864772161)-π/2
    2×0.344128368213262-π/2
    0.688256736426524-1.57079632675     		φ = -0.88253959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33924944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.437561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88253959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.565794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58459 KachelY 86942 -0.33924944 -0.88253959 -19.437561 -50.565794
    Oben rechts KachelX + 1 58460 KachelY 86942 -0.33920150 -0.88253959 -19.434814 -50.565794
    Unten links KachelX 58459 KachelY + 1 86943 -0.33924944 -0.88257004 -19.437561 -50.567538
    Unten rechts KachelX + 1 58460 KachelY + 1 86943 -0.33920150 -0.88257004 -19.434814 -50.567538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88253959--0.88257004) × R
    3.04499999999042e-05 × 6371000     		dl = 193.996949999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88253959--0.88257004) × R
    3.04499999999042e-05 × 6371000     		dr = 193.996949999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33924944--0.33920150) × cos(-0.88253959) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635191730895541 × 6371000     		do = 194.003904450749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33924944--0.33920150) × cos(-0.88257004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635168212406715 × 6371000     		du = 193.996721298895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88253959)-sin(-0.88257004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635191730895541-0.635168212406715)×R²
    abs(-0.33920150--0.33924944)×2.35184888260909e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35184888260909e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35184888260909e-05×40589641000000     		ar = 37635.4689996236m²