Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58458 / 89191
↖ ↑ ↗
← S 54.327737°
W 19.440308°		 ← 178.11 m → S 54.327737°
W 19.437561°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
S 54.329338°
W 19.440308°		 ← 178.10 m →
31 715 m²		 S 54.329338°
W 19.437561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446002960205078 y=0.680477142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446002960205078 × 217)
    floor (0.446002960205078 × 131072)
    floor (58458.5)     		tx = 58458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680477142333984 × 217)
    floor (0.680477142333984 × 131072)
    floor (89191.5)     		ty = 89191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58458 / 89191 ti = "17/58458/89191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58458/89191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58458 ÷ 217
    58458 ÷ 131072     		x = 0.445999145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89191 ÷ 217
    89191 ÷ 131072     		y = 0.680473327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445999145507812 × 2 - 1) × π
    -0.108001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33929738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680473327636719 × 2 - 1) × π
    -0.360946655273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13394736051243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33929738} λ = -0.33929738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13394736051243))-π/2
    2×atan(0.32176064108986)-π/2
    2×0.311299225603281-π/2
    0.622598451206562-1.57079632675     		φ = -0.94819788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33929738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.440308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94819788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.327737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58458 KachelY 89191 -0.33929738 -0.94819788 -19.440308 -54.327737
    Oben rechts KachelX + 1 58459 KachelY 89191 -0.33924944 -0.94819788 -19.437561 -54.327737
    Unten links KachelX 58458 KachelY + 1 89192 -0.33929738 -0.94822583 -19.440308 -54.329338
    Unten rechts KachelX + 1 58459 KachelY + 1 89192 -0.33924944 -0.94822583 -19.437561 -54.329338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94819788--0.94822583) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94819788--0.94822583) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33929738--0.33924944) × cos(-0.94819788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583148016472579 × 6371000     		do = 178.108414460553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33929738--0.33924944) × cos(-0.94822583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583125310617289 × 6371000     		du = 178.101479507899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94819788)-sin(-0.94822583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583148016472579-0.583125310617289)×R²
    abs(-0.33924944--0.33929738)×2.27058552894066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27058552894066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27058552894066e-05×40589641000000     		ar = 31715.0499536679m²