Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58457 / 89175
↖ ↑ ↗
← S 54.302102°
W 19.443054°		 ← 178.18 m → S 54.302102°
W 19.440308°		 →
↑
178.20 m
↓
↑
178.20 m
↓
S 54.303705°
W 19.443054°		 ← 178.18 m →
31 751 m²		 S 54.303705°
W 19.440308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445995330810547 y=0.680355072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445995330810547 × 217)
    floor (0.445995330810547 × 131072)
    floor (58457.5)     		tx = 58457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680355072021484 × 217)
    floor (0.680355072021484 × 131072)
    floor (89175.5)     		ty = 89175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58457 / 89175 ti = "17/58457/89175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58457/89175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58457 ÷ 217
    58457 ÷ 131072     		x = 0.445991516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89175 ÷ 217
    89175 ÷ 131072     		y = 0.680351257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445991516113281 × 2 - 1) × π
    -0.108016967773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33934531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680351257324219 × 2 - 1) × π
    -0.360702514648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13318037011851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33934531} λ = -0.33934531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13318037011851))-π/2
    2×atan(0.322007523076671)-π/2
    2×0.31152292974583-π/2
    0.623045859491659-1.57079632675     		φ = -0.94775047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33934531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.443054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94775047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.302102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58457 KachelY 89175 -0.33934531 -0.94775047 -19.443054 -54.302102
    Oben rechts KachelX + 1 58458 KachelY 89175 -0.33929738 -0.94775047 -19.440308 -54.302102
    Unten links KachelX 58457 KachelY + 1 89176 -0.33934531 -0.94777844 -19.443054 -54.303705
    Unten rechts KachelX + 1 58458 KachelY + 1 89176 -0.33929738 -0.94777844 -19.440308 -54.303705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94775047--0.94777844) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dl = 178.196869999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94775047--0.94777844) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dr = 178.196869999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33934531--0.33929738) × cos(-0.94775047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583511418731488 × 6371000     		do = 178.182231352136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33934531--0.33929738) × cos(-0.94777844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583488703928234 × 6371000     		du = 178.175295113703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94775047)-sin(-0.94777844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583511418731488-0.583488703928234)×R²
    abs(-0.33929738--0.33934531)×2.27148032542202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27148032542202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27148032542202e-05×40589641000000     		ar = 31750.8979105387m²