Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58456 / 89157
↖ ↑ ↗
← S 54.273244°
W 19.445801°		 ← 178.34 m → S 54.273244°
W 19.443054°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
S 54.274848°
W 19.445801°		 ← 178.34 m →
31 803 m²		 S 54.274848°
W 19.443054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445987701416016 y=0.680217742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445987701416016 × 217)
    floor (0.445987701416016 × 131072)
    floor (58456.5)     		tx = 58456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680217742919922 × 217)
    floor (0.680217742919922 × 131072)
    floor (89157.5)     		ty = 89157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58456 / 89157 ti = "17/58456/89157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58456/89157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58456 ÷ 217
    58456 ÷ 131072     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89157 ÷ 217
    89157 ÷ 131072     		y = 0.680213928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680213928222656 × 2 - 1) × π
    -0.360427856445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.13231750592535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13231750592535))-π/2
    2×atan(0.322285491745621)-π/2
    2×0.311774763515118-π/2
    0.623549527030235-1.57079632675     		φ = -0.94724680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94724680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.273244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58456 KachelY 89157 -0.33939325 -0.94724680 -19.445801 -54.273244
    Oben rechts KachelX + 1 58457 KachelY 89157 -0.33934531 -0.94724680 -19.443054 -54.273244
    Unten links KachelX 58456 KachelY + 1 89158 -0.33939325 -0.94727479 -19.445801 -54.274848
    Unten rechts KachelX + 1 58457 KachelY + 1 89158 -0.33934531 -0.94727479 -19.443054 -54.274848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94724680--0.94727479) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94724680--0.94727479) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33934531) × cos(-0.94724680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583920377592821 × 6371000     		do = 178.34431342725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33934531) × cos(-0.94727479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583897654776047 × 6371000     		du = 178.337373294122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94724680)-sin(-0.94727479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583920377592821-0.583897654776047)×R²
    abs(-0.33934531--0.33939325)×2.27228167741789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27228167741789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27228167741789e-05×40589641000000     		ar = 31802.5042722378m²