Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58456 / 88130
↖ ↑ ↗
← S 52.593038°
W 19.445801°		 ← 185.54 m → S 52.593038°
W 19.443054°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
S 52.594706°
W 19.445801°		 ← 185.53 m →
34 421 m²		 S 52.594706°
W 19.443054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445987701416016 y=0.672382354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445987701416016 × 217)
    floor (0.445987701416016 × 131072)
    floor (58456.5)     		tx = 58456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672382354736328 × 217)
    floor (0.672382354736328 × 131072)
    floor (88130.5)     		ty = 88130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58456 / 88130 ti = "17/58456/88130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58456/88130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58456 ÷ 217
    58456 ÷ 131072     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88130 ÷ 217
    88130 ÷ 131072     		y = 0.672378540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672378540039062 × 2 - 1) × π
    -0.344757080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08308631001555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08308631001555))-π/2
    2×atan(0.338549044286526)-π/2
    2×0.326437326429767-π/2
    0.652874652859535-1.57079632675     		φ = -0.91792167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91792167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.593038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58456 KachelY 88130 -0.33939325 -0.91792167 -19.445801 -52.593038
    Oben rechts KachelX + 1 58457 KachelY 88130 -0.33934531 -0.91792167 -19.443054 -52.593038
    Unten links KachelX 58456 KachelY + 1 88131 -0.33939325 -0.91795079 -19.445801 -52.594706
    Unten rechts KachelX + 1 58457 KachelY + 1 88131 -0.33934531 -0.91795079 -19.443054 -52.594706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91792167--0.91795079) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91792167--0.91795079) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33934531) × cos(-0.91792167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607472369761887 × 6371000     		do = 185.537698063956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33934531) × cos(-0.91795079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607449238299988 × 6371000     		du = 185.530633120088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91792167)-sin(-0.91795079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607472369761887-0.607449238299988)×R²
    abs(-0.33934531--0.33939325)×2.31314618993617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31314618993617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31314618993617e-05×40589641000000     		ar = 34420.9514834084m²