Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58456 / 88041
↖ ↑ ↗
← S 52.444292°
W 19.445801°		 ← 186.17 m → S 52.444292°
W 19.443054°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
S 52.445966°
W 19.445801°		 ← 186.16 m →
34 656 m²		 S 52.445966°
W 19.443054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445987701416016 y=0.671703338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445987701416016 × 217)
    floor (0.445987701416016 × 131072)
    floor (58456.5)     		tx = 58456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671703338623047 × 217)
    floor (0.671703338623047 × 131072)
    floor (88041.5)     		ty = 88041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58456 / 88041 ti = "17/58456/88041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58456/88041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58456 ÷ 217
    58456 ÷ 131072     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88041 ÷ 217
    88041 ÷ 131072     		y = 0.671699523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671699523925781 × 2 - 1) × π
    -0.343399047851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.07881992594936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07881992594936))-π/2
    2×atan(0.339996510061584)-π/2
    2×0.327735378471011-π/2
    0.655470756942021-1.57079632675     		φ = -0.91532557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91532557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.444292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58456 KachelY 88041 -0.33939325 -0.91532557 -19.445801 -52.444292
    Oben rechts KachelX + 1 58457 KachelY 88041 -0.33934531 -0.91532557 -19.443054 -52.444292
    Unten links KachelX 58456 KachelY + 1 88042 -0.33939325 -0.91535479 -19.445801 -52.445966
    Unten rechts KachelX + 1 58457 KachelY + 1 88042 -0.33934531 -0.91535479 -19.443054 -52.445966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91532557--0.91535479) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dl = 186.160619999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91532557--0.91535479) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dr = 186.160619999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33934531) × cos(-0.91532557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609532508517972 × 6371000     		do = 186.166917468036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33934531) × cos(-0.91535479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60950934377917 × 6371000     		du = 186.159842360545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91532557)-sin(-0.91535479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609532508517972-0.60950934377917)×R²
    abs(-0.33934531--0.33939325)×2.31647388021505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31647388021505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31647388021505e-05×40589641000000     		ar = 34656.2902285454m²