Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58456 / 87954
↖ ↑ ↗
← S 52.298402°
W 19.445801°		 ← 186.78 m → S 52.298402°
W 19.443054°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
S 52.300081°
W 19.445801°		 ← 186.78 m →
34 890 m²		 S 52.300081°
W 19.443054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445987701416016 y=0.671039581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445987701416016 × 217)
    floor (0.445987701416016 × 131072)
    floor (58456.5)     		tx = 58456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671039581298828 × 217)
    floor (0.671039581298828 × 131072)
    floor (87954.5)     		ty = 87954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58456 / 87954 ti = "17/58456/87954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58456/87954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58456 ÷ 217
    58456 ÷ 131072     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87954 ÷ 217
    87954 ÷ 131072     		y = 0.671035766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671035766601562 × 2 - 1) × π
    -0.342071533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07464941568242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07464941568242))-π/2
    2×atan(0.341417429918424)-π/2
    2×0.329008511359182-π/2
    0.658017022718364-1.57079632675     		φ = -0.91277930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91277930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.298402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58456 KachelY 87954 -0.33939325 -0.91277930 -19.445801 -52.298402
    Oben rechts KachelX + 1 58457 KachelY 87954 -0.33934531 -0.91277930 -19.443054 -52.298402
    Unten links KachelX 58456 KachelY + 1 87955 -0.33939325 -0.91280862 -19.445801 -52.300081
    Unten rechts KachelX + 1 58457 KachelY + 1 87955 -0.33934531 -0.91280862 -19.443054 -52.300081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91277930--0.91280862) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91277930--0.91280862) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33934531) × cos(-0.91277930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61154911412943 × 6371000     		do = 186.782840729203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33934531) × cos(-0.91280862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611525915692817 × 6371000     		du = 186.775755329534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91277930)-sin(-0.91280862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61154911412943-0.611525915692817)×R²
    abs(-0.33934531--0.33939325)×2.31984366124705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31984366124705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31984366124705e-05×40589641000000     		ar = 34889.9470175509m²