Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58455 / 88179
↖ ↑ ↗
← S 52.674717°
W 19.448548°		 ← 185.19 m → S 52.674717°
W 19.445801°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
S 52.676382°
W 19.448548°		 ← 185.18 m →
34 298 m²		 S 52.676382°
W 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445980072021484 y=0.672756195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445980072021484 × 217)
    floor (0.445980072021484 × 131072)
    floor (58455.5)     		tx = 58455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672756195068359 × 217)
    floor (0.672756195068359 × 131072)
    floor (88179.5)     		ty = 88179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58455 / 88179 ti = "17/58455/88179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58455/88179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58455 ÷ 217
    58455 ÷ 131072     		x = 0.445976257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88179 ÷ 217
    88179 ÷ 131072     		y = 0.672752380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445976257324219 × 2 - 1) × π
    -0.108047485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33944119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672752380371094 × 2 - 1) × π
    -0.345504760742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.08543521809693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33944119} λ = -0.33944119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08543521809693))-π/2
    2×atan(0.337754756919662)-π/2
    2×0.325724543469892-π/2
    0.651449086939785-1.57079632675     		φ = -0.91934724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33944119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.448548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91934724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.674717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58455 KachelY 88179 -0.33944119 -0.91934724 -19.448548 -52.674717
    Oben rechts KachelX + 1 58456 KachelY 88179 -0.33939325 -0.91934724 -19.445801 -52.674717
    Unten links KachelX 58455 KachelY + 1 88180 -0.33944119 -0.91937631 -19.448548 -52.676382
    Unten rechts KachelX + 1 58456 KachelY + 1 88180 -0.33939325 -0.91937631 -19.445801 -52.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91934724--0.91937631) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dl = 185.204969999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91934724--0.91937631) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dr = 185.204969999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33944119--0.33939325) × cos(-0.91934724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606339364451424 × 6371000     		do = 185.191649078799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33944119--0.33939325) × cos(-0.91937631) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606316247556943 × 6371000     		du = 185.184588584196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91934724)-sin(-0.91937631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606339364451424-0.606316247556943)×R²
    abs(-0.33939325--0.33944119)×2.3116894480979e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3116894480979e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3116894480979e-05×40589641000000     		ar = 34297.7599949019m²