Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58455 / 87331
↖ ↑ ↗
← S 51.239566°
W 19.448548°		 ← 191.22 m → S 51.239566°
W 19.445801°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
S 51.241286°
W 19.448548°		 ← 191.21 m →
36 559 m²		 S 51.241286°
W 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445980072021484 y=0.666286468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445980072021484 × 217)
    floor (0.445980072021484 × 131072)
    floor (58455.5)     		tx = 58455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666286468505859 × 217)
    floor (0.666286468505859 × 131072)
    floor (87331.5)     		ty = 87331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58455 / 87331 ti = "17/58455/87331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58455/87331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58455 ÷ 217
    58455 ÷ 131072     		x = 0.445976257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87331 ÷ 217
    87331 ÷ 131072     		y = 0.666282653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445976257324219 × 2 - 1) × π
    -0.108047485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33944119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666282653808594 × 2 - 1) × π
    -0.332565307617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.04478472721912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33944119} λ = -0.33944119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04478472721912))-π/2
    2×atan(0.351767537203737)-π/2
    2×0.338248594128451-π/2
    0.676497188256902-1.57079632675     		φ = -0.89429914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33944119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.448548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89429914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.239566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58455 KachelY 87331 -0.33944119 -0.89429914 -19.448548 -51.239566
    Oben rechts KachelX + 1 58456 KachelY 87331 -0.33939325 -0.89429914 -19.445801 -51.239566
    Unten links KachelX 58455 KachelY + 1 87332 -0.33944119 -0.89432915 -19.448548 -51.241286
    Unten rechts KachelX + 1 58456 KachelY + 1 87332 -0.33939325 -0.89432915 -19.445801 -51.241286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89429914--0.89432915) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dl = 191.193710000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89429914--0.89432915) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dr = 191.193710000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33944119--0.33939325) × cos(-0.89429914) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626065480054061 × 6371000     		do = 191.216512534063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33944119--0.33939325) × cos(-0.89432915) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626042078859788 × 6371000     		du = 191.209365206985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89429914)-sin(-0.89432915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626065480054061-0.626042078859788)×R²
    abs(-0.33939325--0.33944119)×2.34011942726875e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34011942726875e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34011942726875e-05×40589641000000     		ar = 36558.7111854837m²