Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58454 / 88133
↖ ↑ ↗
← S 52.598043°
W 19.451294°		 ← 185.48 m → S 52.598043°
W 19.448548°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
S 52.599711°
W 19.451294°		 ← 185.47 m →
34 410 m²		 S 52.599711°
W 19.448548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445972442626953 y=0.672405242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445972442626953 × 217)
    floor (0.445972442626953 × 131072)
    floor (58454.5)     		tx = 58454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672405242919922 × 217)
    floor (0.672405242919922 × 131072)
    floor (88133.5)     		ty = 88133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58454 / 88133 ti = "17/58454/88133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58454/88133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58454 ÷ 217
    58454 ÷ 131072     		x = 0.445968627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88133 ÷ 217
    88133 ÷ 131072     		y = 0.672401428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445968627929688 × 2 - 1) × π
    -0.108062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33948912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672401428222656 × 2 - 1) × π
    -0.344802856445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.08323012071441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33948912} λ = -0.33948912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08323012071441))-π/2
    2×atan(0.338500360812555)-π/2
    2×0.326393648411851-π/2
    0.652787296823702-1.57079632675     		φ = -0.91800903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33948912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.451294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91800903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.598043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58454 KachelY 88133 -0.33948912 -0.91800903 -19.451294 -52.598043
    Oben rechts KachelX + 1 58455 KachelY 88133 -0.33944119 -0.91800903 -19.448548 -52.598043
    Unten links KachelX 58454 KachelY + 1 88134 -0.33948912 -0.91803815 -19.451294 -52.599711
    Unten rechts KachelX + 1 58455 KachelY + 1 88134 -0.33944119 -0.91803815 -19.448548 -52.599711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91800903--0.91803815) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91800903--0.91803815) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33948912--0.33944119) × cos(-0.91800903) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.607402973830904 × 6371000     		do = 185.477805116941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33948912--0.33944119) × cos(-0.91803815) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.60737984082376 × 6371000     		du = 185.470741174919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91800903)-sin(-0.91803815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607402973830904-0.60737984082376)×R²
    abs(-0.33944119--0.33948912)×2.31330071447378e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31330071447378e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31330071447378e-05×40589641000000     		ar = 34409.8400258935m²