Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58453 / 89144
↖ ↑ ↗
← S 54.252389°
W 19.454041°		 ← 178.43 m → S 54.252389°
W 19.451294°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
S 54.253994°
W 19.454041°		 ← 178.43 m →
31 841 m²		 S 54.253994°
W 19.451294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445964813232422 y=0.680118560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445964813232422 × 217)
    floor (0.445964813232422 × 131072)
    floor (58453.5)     		tx = 58453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680118560791016 × 217)
    floor (0.680118560791016 × 131072)
    floor (89144.5)     		ty = 89144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58453 / 89144 ti = "17/58453/89144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58453/89144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58453 ÷ 217
    58453 ÷ 131072     		x = 0.445960998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89144 ÷ 217
    89144 ÷ 131072     		y = 0.68011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445960998535156 × 2 - 1) × π
    -0.108078002929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33953706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.3602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13169432623029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33953706} λ = -0.33953706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13169432623029))-π/2
    2×atan(0.32248639611335)-π/2
    2×0.311956753203367-π/2
    0.623913506406733-1.57079632675     		φ = -0.94688282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33953706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.454041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94688282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.252389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58453 KachelY 89144 -0.33953706 -0.94688282 -19.454041 -54.252389
    Oben rechts KachelX + 1 58454 KachelY 89144 -0.33948912 -0.94688282 -19.451294 -54.252389
    Unten links KachelX 58453 KachelY + 1 89145 -0.33953706 -0.94691083 -19.454041 -54.253994
    Unten rechts KachelX + 1 58454 KachelY + 1 89145 -0.33948912 -0.94691083 -19.451294 -54.253994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94688282--0.94691083) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dl = 178.451709999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94688282--0.94691083) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dr = 178.451709999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33953706--0.33948912) × cos(-0.94688282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584215821850764 × 6371000     		do = 178.434549708567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33953706--0.33948912) × cos(-0.94691083) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584193088751949 × 6371000     		du = 178.427606435039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94688282)-sin(-0.94691083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584215821850764-0.584193088751949)×R²
    abs(-0.33948912--0.33953706)×2.27330988148422e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27330988148422e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27330988148422e-05×40589641000000     		ar = 31841.3310010588m²