Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58453 / 88055
↖ ↑ ↗
← S 52.467724°
W 19.454041°		 ← 186.07 m → S 52.467724°
W 19.451294°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
S 52.469397°
W 19.454041°		 ← 186.06 m →
34 614 m²		 S 52.469397°
W 19.451294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445964813232422 y=0.671810150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445964813232422 × 217)
    floor (0.445964813232422 × 131072)
    floor (58453.5)     		tx = 58453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671810150146484 × 217)
    floor (0.671810150146484 × 131072)
    floor (88055.5)     		ty = 88055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58453 / 88055 ti = "17/58453/88055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58453/88055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58453 ÷ 217
    58453 ÷ 131072     		x = 0.445960998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88055 ÷ 217
    88055 ÷ 131072     		y = 0.671806335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445960998535156 × 2 - 1) × π
    -0.108078002929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33953706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671806335449219 × 2 - 1) × π
    -0.343612670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.07949104254404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33953706} λ = -0.33953706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07949104254404))-π/2
    2×atan(0.339768409311209)-π/2
    2×0.327530899185845-π/2
    0.65506179837169-1.57079632675     		φ = -0.91573453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33953706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.454041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91573453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.467724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58453 KachelY 88055 -0.33953706 -0.91573453 -19.454041 -52.467724
    Oben rechts KachelX + 1 58454 KachelY 88055 -0.33948912 -0.91573453 -19.451294 -52.467724
    Unten links KachelX 58453 KachelY + 1 88056 -0.33953706 -0.91576373 -19.454041 -52.469397
    Unten rechts KachelX + 1 58454 KachelY + 1 88056 -0.33948912 -0.91576373 -19.451294 -52.469397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91573453--0.91576373) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dl = 186.033199999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91573453--0.91576373) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dr = 186.033199999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33953706--0.33948912) × cos(-0.91573453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.609208249986398 × 6371000     		do = 186.067880566294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33953706--0.33948912) × cos(-0.91576373) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.609185093826434 × 6371000     		du = 186.060808079002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91573453)-sin(-0.91576373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609208249986398-0.609185093826434)×R²
    abs(-0.33948912--0.33953706)×2.3156159963289e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3156159963289e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3156159963289e-05×40589641000000     		ar = 34614.1453825694m²