Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58452 / 89143
↖ ↑ ↗
← S 54.250784°
W 19.456787°		 ← 178.44 m → S 54.250784°
W 19.454041°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
S 54.252389°
W 19.456787°		 ← 178.43 m →
31 843 m²		 S 54.252389°
W 19.454041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445957183837891 y=0.680110931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445957183837891 × 217)
    floor (0.445957183837891 × 131072)
    floor (58452.5)     		tx = 58452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680110931396484 × 217)
    floor (0.680110931396484 × 131072)
    floor (89143.5)     		ty = 89143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58452 / 89143 ti = "17/58452/89143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58452/89143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58452 ÷ 217
    58452 ÷ 131072     		x = 0.445953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89143 ÷ 217
    89143 ÷ 131072     		y = 0.680107116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.10809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33958500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680107116699219 × 2 - 1) × π
    -0.360214233398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13164638933067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33958500} λ = -0.33958500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13164638933067))-π/2
    2×atan(0.322501855481883)-π/2
    2×0.311970756223357-π/2
    0.623941512446714-1.57079632675     		φ = -0.94685481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33958500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.456787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94685481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.250784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58452 KachelY 89143 -0.33958500 -0.94685481 -19.456787 -54.250784
    Oben rechts KachelX + 1 58453 KachelY 89143 -0.33953706 -0.94685481 -19.454041 -54.250784
    Unten links KachelX 58452 KachelY + 1 89144 -0.33958500 -0.94688282 -19.456787 -54.252389
    Unten rechts KachelX + 1 58453 KachelY + 1 89144 -0.33953706 -0.94688282 -19.454041 -54.252389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94685481--0.94688282) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dl = 178.451709999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94685481--0.94688282) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dr = 178.451709999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33958500--0.33953706) × cos(-0.94685481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584238554491226 × 6371000     		do = 178.441492842103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33958500--0.33953706) × cos(-0.94688282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584215821850764 × 6371000     		du = 178.434549708567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94685481)-sin(-0.94688282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584238554491226-0.584215821850764)×R²
    abs(-0.33953706--0.33958500)×2.27326404623751e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27326404623751e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27326404623751e-05×40589641000000     		ar = 31842.5700275553m²