Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58452 / 88131
↖ ↑ ↗
← S 52.594706°
W 19.456787°		 ← 185.53 m → S 52.594706°
W 19.454041°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
S 52.596375°
W 19.456787°		 ← 185.52 m →
34 420 m²		 S 52.596375°
W 19.454041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445957183837891 y=0.672389984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445957183837891 × 217)
    floor (0.445957183837891 × 131072)
    floor (58452.5)     		tx = 58452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672389984130859 × 217)
    floor (0.672389984130859 × 131072)
    floor (88131.5)     		ty = 88131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58452 / 88131 ti = "17/58452/88131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58452/88131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58452 ÷ 217
    58452 ÷ 131072     		x = 0.445953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88131 ÷ 217
    88131 ÷ 131072     		y = 0.672386169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.10809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33958500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672386169433594 × 2 - 1) × π
    -0.344772338867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.08313424691517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33958500} λ = -0.33958500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08313424691517))-π/2
    2×atan(0.338532815683951)-π/2
    2×0.326422766536048-π/2
    0.652845533072096-1.57079632675     		φ = -0.91795079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33958500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.456787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91795079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.594706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58452 KachelY 88131 -0.33958500 -0.91795079 -19.456787 -52.594706
    Oben rechts KachelX + 1 58453 KachelY 88131 -0.33953706 -0.91795079 -19.454041 -52.594706
    Unten links KachelX 58452 KachelY + 1 88132 -0.33958500 -0.91797991 -19.456787 -52.596375
    Unten rechts KachelX + 1 58453 KachelY + 1 88132 -0.33953706 -0.91797991 -19.454041 -52.596375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91795079--0.91797991) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91795079--0.91797991) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33958500--0.33953706) × cos(-0.91795079) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607449238299988 × 6371000     		do = 185.530633120303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33958500--0.33953706) × cos(-0.91797991) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607426106322987 × 6371000     		du = 185.52356801911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91795079)-sin(-0.91797991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607449238299988-0.607426106322987)×R²
    abs(-0.33953706--0.33958500)×2.31319770008787e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31319770008787e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31319770008787e-05×40589641000000     		ar = 34419.6407554743m²