Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58451 / 88056
↖ ↑ ↗
← S 52.469397°
W 19.459533°		 ← 186.02 m → S 52.469397°
W 19.456787°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
S 52.471070°
W 19.459533°		 ← 186.01 m →
34 606 m²		 S 52.471070°
W 19.456787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445949554443359 y=0.671817779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445949554443359 × 217)
    floor (0.445949554443359 × 131072)
    floor (58451.5)     		tx = 58451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671817779541016 × 217)
    floor (0.671817779541016 × 131072)
    floor (88056.5)     		ty = 88056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58451 / 88056 ti = "17/58451/88056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58451/88056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58451 ÷ 217
    58451 ÷ 131072     		x = 0.445945739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88056 ÷ 217
    88056 ÷ 131072     		y = 0.67181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445945739746094 × 2 - 1) × π
    -0.108108520507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33963293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67181396484375 × 2 - 1) × π
    -0.3436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07953897944366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33963293} λ = -0.33963293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07953897944366))-π/2
    2×atan(0.339752122257456)-π/2
    2×0.327516297685989-π/2
    0.655032595371978-1.57079632675     		φ = -0.91576373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33963293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.459533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91576373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.469397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58451 KachelY 88056 -0.33963293 -0.91576373 -19.459533 -52.469397
    Oben rechts KachelX + 1 58452 KachelY 88056 -0.33958500 -0.91576373 -19.456787 -52.469397
    Unten links KachelX 58451 KachelY + 1 88057 -0.33963293 -0.91579293 -19.459533 -52.471070
    Unten rechts KachelX + 1 58452 KachelY + 1 88057 -0.33958500 -0.91579293 -19.456787 -52.471070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91576373--0.91579293) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dl = 186.033199999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91576373--0.91579293) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dr = 186.033199999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33963293--0.33958500) × cos(-0.91576373) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609185093826434 × 6371000     		do = 186.021996896479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33963293--0.33958500) × cos(-0.91579293) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609161937147055 × 6371000     		du = 186.014925725856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91576373)-sin(-0.91579293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609185093826434-0.609161937147055)×R²
    abs(-0.33958500--0.33963293)×2.31566793789106e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31566793789106e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31566793789106e-05×40589641000000     		ar = 34605.6096193317m²