Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58450 / 88089
↖ ↑ ↗
← S 52.524577°
W 19.462280°		 ← 185.83 m → S 52.524577°
W 19.459533°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
S 52.526248°
W 19.462280°		 ← 185.82 m →
34 522 m²		 S 52.526248°
W 19.459533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445941925048828 y=0.672069549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445941925048828 × 217)
    floor (0.445941925048828 × 131072)
    floor (58450.5)     		tx = 58450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672069549560547 × 217)
    floor (0.672069549560547 × 131072)
    floor (88089.5)     		ty = 88089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58450 / 88089 ti = "17/58450/88089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58450/88089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58450 ÷ 217
    58450 ÷ 131072     		x = 0.445938110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88089 ÷ 217
    88089 ÷ 131072     		y = 0.672065734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445938110351562 × 2 - 1) × π
    -0.108123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33968087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672065734863281 × 2 - 1) × π
    -0.344131469726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.08112089713113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33968087} λ = -0.33968087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08112089713113))-π/2
    2×atan(0.339215087250485)-π/2
    2×0.327034759533155-π/2
    0.65406951906631-1.57079632675     		φ = -0.91672681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33968087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.462280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91672681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.524577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58450 KachelY 88089 -0.33968087 -0.91672681 -19.462280 -52.524577
    Oben rechts KachelX + 1 58451 KachelY 88089 -0.33963293 -0.91672681 -19.459533 -52.524577
    Unten links KachelX 58450 KachelY + 1 88090 -0.33968087 -0.91675597 -19.462280 -52.526248
    Unten rechts KachelX + 1 58451 KachelY + 1 88090 -0.33963293 -0.91675597 -19.459533 -52.526248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91672681--0.91675597) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91672681--0.91675597) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33968087--0.33963293) × cos(-0.91672681) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608421061953244 × 6371000     		do = 185.827453078749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33968087--0.33963293) × cos(-0.91675597) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608397919898755 × 6371000     		du = 185.820384899631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91672681)-sin(-0.91675597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608421061953244-0.608397919898755)×R²
    abs(-0.33963293--0.33968087)×2.31420544897221e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31420544897221e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31420544897221e-05×40589641000000     		ar = 34522.0629209062m²