Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58449 / 88059
↖ ↑ ↗
← S 52.474416°
W 19.465027°		 ← 186.04 m → S 52.474416°
W 19.462280°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
S 52.476089°
W 19.465027°		 ← 186.03 m →
34 609 m²		 S 52.476089°
W 19.462280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445934295654297 y=0.671840667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445934295654297 × 217)
    floor (0.445934295654297 × 131072)
    floor (58449.5)     		tx = 58449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671840667724609 × 217)
    floor (0.671840667724609 × 131072)
    floor (88059.5)     		ty = 88059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58449 / 88059 ti = "17/58449/88059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58449/88059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58449 ÷ 217
    58449 ÷ 131072     		x = 0.445930480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88059 ÷ 217
    88059 ÷ 131072     		y = 0.671836853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445930480957031 × 2 - 1) × π
    -0.108139038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33972881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671836853027344 × 2 - 1) × π
    -0.343673706054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.07968279014252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33972881} λ = -0.33972881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07968279014252))-π/2
    2×atan(0.339703265780441)-π/2
    2×0.327472496516807-π/2
    0.654944993033614-1.57079632675     		φ = -0.91585133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33972881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.465027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91585133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.474416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58449 KachelY 88059 -0.33972881 -0.91585133 -19.465027 -52.474416
    Oben rechts KachelX + 1 58450 KachelY 88059 -0.33968087 -0.91585133 -19.462280 -52.474416
    Unten links KachelX 58449 KachelY + 1 88060 -0.33972881 -0.91588053 -19.465027 -52.476089
    Unten rechts KachelX + 1 58450 KachelY + 1 88060 -0.33968087 -0.91588053 -19.462280 -52.476089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91585133--0.91588053) × R
    2.92000000000625e-05 × 6371000     		dl = 186.033200000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91585133--0.91588053) × R
    2.92000000000625e-05 × 6371000     		dr = 186.033200000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33972881--0.33968087) × cos(-0.91585133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60911562223013 × 6371000     		do = 186.039589665076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33972881--0.33968087) × cos(-0.91588053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609092463992623 × 6371000     		du = 186.032516543248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91585133)-sin(-0.91588053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60911562223013-0.609092463992623)×R²
    abs(-0.33968087--0.33972881)×2.31582375072037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31582375072037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31582375072037e-05×40589641000000     		ar = 34608.8822767919m²