Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58449 / 88052
↖ ↑ ↗
← S 52.462703°
W 19.465027°		 ← 186.09 m → S 52.462703°
W 19.462280°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
S 52.464377°
W 19.465027°		 ← 186.08 m →
34 630 m²		 S 52.464377°
W 19.462280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445934295654297 y=0.671787261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445934295654297 × 217)
    floor (0.445934295654297 × 131072)
    floor (58449.5)     		tx = 58449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671787261962891 × 217)
    floor (0.671787261962891 × 131072)
    floor (88052.5)     		ty = 88052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58449 / 88052 ti = "17/58449/88052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58449/88052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58449 ÷ 217
    58449 ÷ 131072     		x = 0.445930480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88052 ÷ 217
    88052 ÷ 131072     		y = 0.671783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445930480957031 × 2 - 1) × π
    -0.108139038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33972881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671783447265625 × 2 - 1) × π
    -0.34356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07934723184518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33972881} λ = -0.33972881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07934723184518))-π/2
    2×atan(0.339817275157234)-π/2
    2×0.327574707015918-π/2
    0.655149414031837-1.57079632675     		φ = -0.91564691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33972881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.465027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91564691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.462703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58449 KachelY 88052 -0.33972881 -0.91564691 -19.465027 -52.462703
    Oben rechts KachelX + 1 58450 KachelY 88052 -0.33968087 -0.91564691 -19.462280 -52.462703
    Unten links KachelX 58449 KachelY + 1 88053 -0.33972881 -0.91567612 -19.465027 -52.464377
    Unten rechts KachelX + 1 58450 KachelY + 1 88053 -0.33968087 -0.91567612 -19.462280 -52.464377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91564691--0.91567612) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91564691--0.91567612) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33972881--0.33968087) × cos(-0.91564691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609277731208735 × 6371000     		do = 186.089101919827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33972881--0.33968087) × cos(-0.91567612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609254568677746 × 6371000     		du = 186.082027486659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91564691)-sin(-0.91567612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609277731208735-0.609254568677746)×R²
    abs(-0.33968087--0.33972881)×2.31625309892181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31625309892181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31625309892181e-05×40589641000000     		ar = 34629.9485892591m²