Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58449 / 87344
↖ ↑ ↗
← S 51.261915°
W 19.465027°		 ← 191.12 m → S 51.261915°
W 19.462280°		 →
↑
191.13 m
↓
↑
191.13 m
↓
S 51.263633°
W 19.465027°		 ← 191.12 m →
36 529 m²		 S 51.263633°
W 19.462280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445934295654297 y=0.666385650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445934295654297 × 217)
    floor (0.445934295654297 × 131072)
    floor (58449.5)     		tx = 58449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666385650634766 × 217)
    floor (0.666385650634766 × 131072)
    floor (87344.5)     		ty = 87344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58449 / 87344 ti = "17/58449/87344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58449/87344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58449 ÷ 217
    58449 ÷ 131072     		x = 0.445930480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87344 ÷ 217
    87344 ÷ 131072     		y = 0.6663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445930480957031 × 2 - 1) × π
    -0.108139038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33972881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04540790691418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33972881} λ = -0.33972881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04540790691418))-π/2
    2×atan(0.351548391107961)-π/2
    2×0.338053565875142-π/2
    0.676107131750284-1.57079632675     		φ = -0.89468919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33972881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.465027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89468919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.261915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58449 KachelY 87344 -0.33972881 -0.89468919 -19.465027 -51.261915
    Oben rechts KachelX + 1 58450 KachelY 87344 -0.33968087 -0.89468919 -19.462280 -51.261915
    Unten links KachelX 58449 KachelY + 1 87345 -0.33972881 -0.89471919 -19.465027 -51.263633
    Unten rechts KachelX + 1 58450 KachelY + 1 87345 -0.33968087 -0.89471919 -19.462280 -51.263633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89468919--0.89471919) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dl = 191.129999999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89468919--0.89471919) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dr = 191.129999999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33972881--0.33968087) × cos(-0.89468919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625761282958258 × 6371000     		do = 191.12360291075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33972881--0.33968087) × cos(-0.89471919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62573788223789 × 6371000     		du = 191.116455728415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89468919)-sin(-0.89471919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625761282958258-0.62573788223789)×R²
    abs(-0.33968087--0.33972881)×2.34007203685493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34007203685493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34007203685493e-05×40589641000000     		ar = 36528.7712066698m²