Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58447 / 87795
↖ ↑ ↗
← S 52.030528°
W 19.470520°		 ← 187.91 m → S 52.030528°
W 19.467773°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
S 52.032218°
W 19.470520°		 ← 187.90 m →
35 304 m²		 S 52.032218°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445919036865234 y=0.669826507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445919036865234 × 217)
    floor (0.445919036865234 × 131072)
    floor (58447.5)     		tx = 58447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669826507568359 × 217)
    floor (0.669826507568359 × 131072)
    floor (87795.5)     		ty = 87795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58447 / 87795 ti = "17/58447/87795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58447/87795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58447 ÷ 217
    58447 ÷ 131072     		x = 0.445915222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87795 ÷ 217
    87795 ÷ 131072     		y = 0.669822692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445915222167969 × 2 - 1) × π
    -0.108169555664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33982468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669822692871094 × 2 - 1) × π
    -0.339645385742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.06702744864283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33982468} λ = -0.33982468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06702744864283))-π/2
    2×atan(0.344029644777543)-π/2
    2×0.331346147997125-π/2
    0.662692295994251-1.57079632675     		φ = -0.90810403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33982468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.470520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90810403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.030528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58447 KachelY 87795 -0.33982468 -0.90810403 -19.470520 -52.030528
    Oben rechts KachelX + 1 58448 KachelY 87795 -0.33977674 -0.90810403 -19.467773 -52.030528
    Unten links KachelX 58447 KachelY + 1 87796 -0.33982468 -0.90813352 -19.470520 -52.032218
    Unten rechts KachelX + 1 58448 KachelY + 1 87796 -0.33977674 -0.90813352 -19.467773 -52.032218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90810403--0.90813352) × R
    2.94900000000764e-05 × 6371000     		dl = 187.880790000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90810403--0.90813352) × R
    2.94900000000764e-05 × 6371000     		dr = 187.880790000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33982468--0.33977674) × cos(-0.90810403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.615241520881068 × 6371000     		do = 187.910596793702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33982468--0.33977674) × cos(-0.90813352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.615218272505936 × 6371000     		du = 187.903496141524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90810403)-sin(-0.90813352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615241520881068-0.615218272505936)×R²
    abs(-0.33977674--0.33982468)×2.32483751317902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32483751317902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32483751317902e-05×40589641000000     		ar = 35304.1243395814m²