Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58444 / 89169
↖ ↑ ↗
← S 54.292485°
W 19.478760°		 ← 178.22 m → S 54.292485°
W 19.476013°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
S 54.294088°
W 19.478760°		 ← 178.22 m →
31 770 m²		 S 54.294088°
W 19.476013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445896148681641 y=0.680309295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445896148681641 × 217)
    floor (0.445896148681641 × 131072)
    floor (58444.5)     		tx = 58444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680309295654297 × 217)
    floor (0.680309295654297 × 131072)
    floor (89169.5)     		ty = 89169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58444 / 89169 ti = "17/58444/89169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58444/89169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58444 ÷ 217
    58444 ÷ 131072     		x = 0.445892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89169 ÷ 217
    89169 ÷ 131072     		y = 0.680305480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.10821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33996849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680305480957031 × 2 - 1) × π
    -0.360610961914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.13289274872079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33996849} λ = -0.33996849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13289274872079))-π/2
    2×atan(0.32210015265102)-π/2
    2×0.311606854731837-π/2
    0.623213709463673-1.57079632675     		φ = -0.94758262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33996849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94758262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.292485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58444 KachelY 89169 -0.33996849 -0.94758262 -19.478760 -54.292485
    Oben rechts KachelX + 1 58445 KachelY 89169 -0.33992056 -0.94758262 -19.476013 -54.292485
    Unten links KachelX 58444 KachelY + 1 89170 -0.33996849 -0.94761060 -19.478760 -54.294088
    Unten rechts KachelX + 1 58445 KachelY + 1 89170 -0.33992056 -0.94761060 -19.476013 -54.294088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94758262--0.94761060) × R
    2.79799999999275e-05 × 6371000     		dl = 178.260579999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94758262--0.94761060) × R
    2.79799999999275e-05 × 6371000     		dr = 178.260579999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33996849--0.33992056) × cos(-0.94758262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583647722324244 × 6371000     		do = 178.223853293917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33996849--0.33992056) × cos(-0.94761060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583625002140472 × 6371000     		du = 178.216915412478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94758262)-sin(-0.94761060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583647722324244-0.583625002140472)×R²
    abs(-0.33992056--0.33996849)×2.27201837719182e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27201837719182e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27201837719182e-05×40589641000000     		ar = 31769.6690845344m²