Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58442 / 88135
↖ ↑ ↗
← S 52.601379°
W 19.484253°		 ← 185.50 m → S 52.601379°
W 19.481506°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
S 52.603048°
W 19.484253°		 ← 185.50 m →
34 414 m²		 S 52.603048°
W 19.481506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445880889892578 y=0.672420501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445880889892578 × 217)
    floor (0.445880889892578 × 131072)
    floor (58442.5)     		tx = 58442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672420501708984 × 217)
    floor (0.672420501708984 × 131072)
    floor (88135.5)     		ty = 88135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58442 / 88135 ti = "17/58442/88135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58442/88135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58442 ÷ 217
    58442 ÷ 131072     		x = 0.445877075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88135 ÷ 217
    88135 ÷ 131072     		y = 0.672416687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445877075195312 × 2 - 1) × π
    -0.108245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34006437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672416687011719 × 2 - 1) × π
    -0.344833374023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.08332599451365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34006437} λ = -0.34006437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08332599451365))-π/2
    2×atan(0.338467909052581)-π/2
    2×0.326364532505251-π/2
    0.652729065010503-1.57079632675     		φ = -0.91806726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34006437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.484253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91806726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.601379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58442 KachelY 88135 -0.34006437 -0.91806726 -19.484253 -52.601379
    Oben rechts KachelX + 1 58443 KachelY 88135 -0.34001643 -0.91806726 -19.481506 -52.601379
    Unten links KachelX 58442 KachelY + 1 88136 -0.34006437 -0.91809638 -19.484253 -52.603048
    Unten rechts KachelX + 1 58443 KachelY + 1 88136 -0.34001643 -0.91809638 -19.481506 -52.603048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91806726--0.91809638) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91806726--0.91809638) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34006437--0.34001643) × cos(-0.91806726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607356715245865 × 6371000     		do = 185.502374198031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34006437--0.34001643) × cos(-0.91809638) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607333581208831 × 6371000     		du = 185.495308467651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91806726)-sin(-0.91809638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607356715245865-0.607333581208831)×R²
    abs(-0.34001643--0.34006437)×2.31340370333566e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31340370333566e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31340370333566e-05×40589641000000     		ar = 34414.3980025799m²