Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58440 / 87935
↖ ↑ ↗
← S 52.266476°
W 19.489746°		 ← 186.92 m → S 52.266476°
W 19.486999°		 →
↑
186.93 m
↓
↑
186.93 m
↓
S 52.268157°
W 19.489746°		 ← 186.91 m →
34 939 m²		 S 52.268157°
W 19.486999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445865631103516 y=0.670894622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445865631103516 × 217)
    floor (0.445865631103516 × 131072)
    floor (58440.5)     		tx = 58440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670894622802734 × 217)
    floor (0.670894622802734 × 131072)
    floor (87935.5)     		ty = 87935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58440 / 87935 ti = "17/58440/87935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58440/87935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58440 ÷ 217
    58440 ÷ 131072     		x = 0.44586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87935 ÷ 217
    87935 ÷ 131072     		y = 0.670890808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670890808105469 × 2 - 1) × π
    -0.341781616210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.07373861458964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34016024} λ = -0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07373861458964))-π/2
    2×atan(0.34172853494258)-π/2
    2×0.329287111516022-π/2
    0.658574223032045-1.57079632675     		φ = -0.91222210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91222210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.266476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58440 KachelY 87935 -0.34016024 -0.91222210 -19.489746 -52.266476
    Oben rechts KachelX + 1 58441 KachelY 87935 -0.34011230 -0.91222210 -19.486999 -52.266476
    Unten links KachelX 58440 KachelY + 1 87936 -0.34016024 -0.91225144 -19.489746 -52.268157
    Unten rechts KachelX + 1 58441 KachelY + 1 87936 -0.34011230 -0.91225144 -19.486999 -52.268157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91222210--0.91225144) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dl = 186.925139999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91222210--0.91225144) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dr = 186.925139999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34016024--0.34011230) × cos(-0.91222210) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611989879418314 × 6371000     		do = 186.917461793943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34016024--0.34011230) × cos(-0.91225144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611966675158383 × 6371000     		du = 186.910374615683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91222210)-sin(-0.91225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611989879418314-0.611966675158383)×R²
    abs(-0.34011230--0.34016024)×2.32042599307425e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32042599307425e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32042599307425e-05×40589641000000     		ar = 34938.9103308835m²