Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58439 / 90083
↖ ↑ ↗
← S 55.731750°
W 19.492493°		 ← 171.98 m → S 55.731750°
W 19.489746°		 →
↑
171.95 m
↓
↑
171.95 m
↓
S 55.733296°
W 19.492493°		 ← 171.97 m →
29 571 m²		 S 55.733296°
W 19.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445858001708984 y=0.687282562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445858001708984 × 217)
    floor (0.445858001708984 × 131072)
    floor (58439.5)     		tx = 58439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687282562255859 × 217)
    floor (0.687282562255859 × 131072)
    floor (90083.5)     		ty = 90083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58439 / 90083 ti = "17/58439/90083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58439/90083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58439 ÷ 217
    58439 ÷ 131072     		x = 0.445854187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90083 ÷ 217
    90083 ÷ 131072     		y = 0.687278747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445854187011719 × 2 - 1) × π
    -0.108291625976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34020818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687278747558594 × 2 - 1) × π
    -0.374557495117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.17670707497352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34020818} λ = -0.34020818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17670707497352))-π/2
    2×atan(0.308292252245976)-π/2
    2×0.299046896583443-π/2
    0.598093793166886-1.57079632675     		φ = -0.97270253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34020818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.492493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97270253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.731750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58439 KachelY 90083 -0.34020818 -0.97270253 -19.492493 -55.731750
    Oben rechts KachelX + 1 58440 KachelY 90083 -0.34016024 -0.97270253 -19.489746 -55.731750
    Unten links KachelX 58439 KachelY + 1 90084 -0.34020818 -0.97272952 -19.492493 -55.733296
    Unten rechts KachelX + 1 58440 KachelY + 1 90084 -0.34016024 -0.97272952 -19.489746 -55.733296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97270253--0.97272952) × R
    2.699000000006e-05 × 6371000     		dl = 171.953290000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97270253--0.97272952) × R
    2.699000000006e-05 × 6371000     		dr = 171.953290000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34020818--0.34016024) × cos(-0.97270253) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563068191108232 × 6371000     		do = 171.975518939779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34020818--0.34016024) × cos(-0.97272952) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.563045886085424 × 6371000     		du = 171.968706411683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97270253)-sin(-0.97272952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563068191108232-0.563045886085424)×R²
    abs(-0.34016024--0.34020818)×2.23050228074229e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23050228074229e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23050228074229e-05×40589641000000     		ar = 29571.1705647614m²