Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58438 / 87942
↖ ↑ ↗
← S 52.278241°
W 19.495239°		 ← 186.83 m → S 52.278241°
W 19.492493°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
S 52.279921°
W 19.495239°		 ← 186.82 m →
34 910 m²		 S 52.279921°
W 19.492493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445850372314453 y=0.670948028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445850372314453 × 217)
    floor (0.445850372314453 × 131072)
    floor (58438.5)     		tx = 58438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670948028564453 × 217)
    floor (0.670948028564453 × 131072)
    floor (87942.5)     		ty = 87942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58438 / 87942 ti = "17/58438/87942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58438/87942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58438 ÷ 217
    58438 ÷ 131072     		x = 0.445846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87942 ÷ 217
    87942 ÷ 131072     		y = 0.670944213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445846557617188 × 2 - 1) × π
    -0.108306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34025611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670944213867188 × 2 - 1) × π
    -0.341888427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07407417288698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34025611} λ = -0.34025611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07407417288698))-π/2
    2×atan(0.341613884334299)-π/2
    2×0.329184445999647-π/2
    0.658368891999294-1.57079632675     		φ = -0.91242743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34025611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.495239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91242743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.278241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58438 KachelY 87942 -0.34025611 -0.91242743 -19.495239 -52.278241
    Oben rechts KachelX + 1 58439 KachelY 87942 -0.34020818 -0.91242743 -19.492493 -52.278241
    Unten links KachelX 58438 KachelY + 1 87943 -0.34025611 -0.91245676 -19.495239 -52.279921
    Unten rechts KachelX + 1 58439 KachelY + 1 87943 -0.34020818 -0.91245676 -19.492493 -52.279921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91242743--0.91245676) × R
    2.93299999999386e-05 × 6371000     		dl = 186.861429999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91242743--0.91245676) × R
    2.93299999999386e-05 × 6371000     		dr = 186.861429999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34025611--0.34020818) × cos(-0.91242743) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611827478086204 × 6371000     		do = 186.828880718082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34025611--0.34020818) × cos(-0.91245676) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611804278050063 × 6371000     		du = 186.82179630795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91242743)-sin(-0.91245676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611827478086204-0.611804278050063)×R²
    abs(-0.34020818--0.34025611)×2.3200036140647e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3200036140647e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3200036140647e-05×40589641000000     		ar = 34910.4499171159m²