Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58437 / 89167
↖ ↑ ↗
← S 54.289279°
W 19.497986°		 ← 178.27 m → S 54.289279°
W 19.495239°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
S 54.290882°
W 19.497986°		 ← 178.27 m →
31 779 m²		 S 54.290882°
W 19.495239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445842742919922 y=0.680294036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445842742919922 × 217)
    floor (0.445842742919922 × 131072)
    floor (58437.5)     		tx = 58437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680294036865234 × 217)
    floor (0.680294036865234 × 131072)
    floor (89167.5)     		ty = 89167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58437 / 89167 ti = "17/58437/89167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58437/89167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58437 ÷ 217
    58437 ÷ 131072     		x = 0.445838928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89167 ÷ 217
    89167 ÷ 131072     		y = 0.680290222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445838928222656 × 2 - 1) × π
    -0.108322143554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34030405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680290222167969 × 2 - 1) × π
    -0.360580444335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.13279687492155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34030405} λ = -0.34030405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13279687492155))-π/2
    2×atan(0.322131035096775)-π/2
    2×0.311634834083289-π/2
    0.623269668166579-1.57079632675     		φ = -0.94752666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34030405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.497986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94752666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.289279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58437 KachelY 89167 -0.34030405 -0.94752666 -19.497986 -54.289279
    Oben rechts KachelX + 1 58438 KachelY 89167 -0.34025611 -0.94752666 -19.495239 -54.289279
    Unten links KachelX 58437 KachelY + 1 89168 -0.34030405 -0.94755464 -19.497986 -54.290882
    Unten rechts KachelX + 1 58438 KachelY + 1 89168 -0.34025611 -0.94755464 -19.495239 -54.290882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94752666--0.94755464) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94752666--0.94755464) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34030405--0.34025611) × cos(-0.94752666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583693161320991 × 6371000     		do = 178.274915729493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34030405--0.34025611) × cos(-0.94755464) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58367044205109 × 6371000     		du = 178.267976679671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94752666)-sin(-0.94755464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583693161320991-0.58367044205109)×R²
    abs(-0.34025611--0.34030405)×2.27192699014944e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27192699014944e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27192699014944e-05×40589641000000     		ar = 31778.7713999234m²