Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58437 / 87943
↖ ↑ ↗
← S 52.279921°
W 19.497986°		 ← 186.86 m → S 52.279921°
W 19.495239°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
S 52.281602°
W 19.497986°		 ← 186.85 m →
34 916 m²		 S 52.281602°
W 19.495239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445842742919922 y=0.670955657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445842742919922 × 217)
    floor (0.445842742919922 × 131072)
    floor (58437.5)     		tx = 58437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670955657958984 × 217)
    floor (0.670955657958984 × 131072)
    floor (87943.5)     		ty = 87943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58437 / 87943 ti = "17/58437/87943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58437/87943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58437 ÷ 217
    58437 ÷ 131072     		x = 0.445838928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87943 ÷ 217
    87943 ÷ 131072     		y = 0.670951843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445838928222656 × 2 - 1) × π
    -0.108322143554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34030405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670951843261719 × 2 - 1) × π
    -0.341903686523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.0741221097866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34030405} λ = -0.34030405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0741221097866))-π/2
    2×atan(0.341597508816316)-π/2
    2×0.329169781721559-π/2
    0.658339563443117-1.57079632675     		φ = -0.91245676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34030405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.497986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91245676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.279921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58437 KachelY 87943 -0.34030405 -0.91245676 -19.497986 -52.279921
    Oben rechts KachelX + 1 58438 KachelY 87943 -0.34025611 -0.91245676 -19.495239 -52.279921
    Unten links KachelX 58437 KachelY + 1 87944 -0.34030405 -0.91248609 -19.497986 -52.281602
    Unten rechts KachelX + 1 58438 KachelY + 1 87944 -0.34025611 -0.91248609 -19.495239 -52.281602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91245676--0.91248609) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91245676--0.91248609) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34030405--0.34025611) × cos(-0.91245676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611804278050063 × 6371000     		do = 186.8607743587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34030405--0.34025611) × cos(-0.91248609) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611781077487618 × 6371000     		du = 186.853688309747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91245676)-sin(-0.91248609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611804278050063-0.611781077487618)×R²
    abs(-0.34025611--0.34030405)×2.32005624447584e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32005624447584e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32005624447584e-05×40589641000000     		ar = 34916.4094556923m²