Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58435 / 89148
↖ ↑ ↗
← S 54.258807°
W 19.503479°		 ← 178.37 m → S 54.258807°
W 19.500733°		 →
↑
178.39 m
↓
↑
178.39 m
↓
S 54.260411°
W 19.503479°		 ← 178.36 m →
31 818 m²		 S 54.260411°
W 19.500733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445827484130859 y=0.680149078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445827484130859 × 217)
    floor (0.445827484130859 × 131072)
    floor (58435.5)     		tx = 58435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680149078369141 × 217)
    floor (0.680149078369141 × 131072)
    floor (89148.5)     		ty = 89148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58435 / 89148 ti = "17/58435/89148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58435/89148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58435 ÷ 217
    58435 ÷ 131072     		x = 0.445823669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89148 ÷ 217
    89148 ÷ 131072     		y = 0.680145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445823669433594 × 2 - 1) × π
    -0.108352661132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34039992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.36029052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13188607382877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34039992} λ = -0.34039992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13188607382877))-π/2
    2×atan(0.322424566049425)-π/2
    2×0.311900746571143-π/2
    0.623801493142286-1.57079632675     		φ = -0.94699483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34039992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.503479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94699483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.258807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58435 KachelY 89148 -0.34039992 -0.94699483 -19.503479 -54.258807
    Oben rechts KachelX + 1 58436 KachelY 89148 -0.34035199 -0.94699483 -19.500733 -54.258807
    Unten links KachelX 58435 KachelY + 1 89149 -0.34039992 -0.94702283 -19.503479 -54.260411
    Unten rechts KachelX + 1 58436 KachelY + 1 89149 -0.34035199 -0.94702283 -19.500733 -54.260411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94699483--0.94702283) × R
    2.8000000000028e-05 × 6371000     		dl = 178.388000000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94699483--0.94702283) × R
    2.8000000000028e-05 × 6371000     		dr = 178.388000000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34039992--0.34035199) × cos(-0.94699483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.584124911055482 × 6371000     		do = 178.369568613581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34039992--0.34035199) × cos(-0.94702283) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.584102184240728 × 6371000     		du = 178.362628707292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94699483)-sin(-0.94702283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584124911055482-0.584102184240728)×R²
    abs(-0.34035199--0.34039992)×2.27268147540149e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27268147540149e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27268147540149e-05×40589641000000     		ar = 31818.3716098501m²