Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58435 / 87751
↖ ↑ ↗
← S 51.956115°
W 19.503479°		 ← 188.18 m → S 51.956115°
W 19.500733°		 →
↑
188.20 m
↓
↑
188.20 m
↓
S 51.957807°
W 19.503479°		 ← 188.18 m →
35 415 m²		 S 51.957807°
W 19.500733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445827484130859 y=0.669490814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445827484130859 × 217)
    floor (0.445827484130859 × 131072)
    floor (58435.5)     		tx = 58435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669490814208984 × 217)
    floor (0.669490814208984 × 131072)
    floor (87751.5)     		ty = 87751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58435 / 87751 ti = "17/58435/87751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58435/87751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58435 ÷ 217
    58435 ÷ 131072     		x = 0.445823669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87751 ÷ 217
    87751 ÷ 131072     		y = 0.669486999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445823669433594 × 2 - 1) × π
    -0.108352661132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34039992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669486999511719 × 2 - 1) × π
    -0.338973999023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.06491822505955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34039992} λ = -0.34039992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06491822505955))-π/2
    2×atan(0.344756046019669)-π/2
    2×0.331995528516427-π/2
    0.663991057032855-1.57079632675     		φ = -0.90680527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34039992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.503479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90680527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.956115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58435 KachelY 87751 -0.34039992 -0.90680527 -19.503479 -51.956115
    Oben rechts KachelX + 1 58436 KachelY 87751 -0.34035199 -0.90680527 -19.500733 -51.956115
    Unten links KachelX 58435 KachelY + 1 87752 -0.34039992 -0.90683481 -19.503479 -51.957807
    Unten rechts KachelX + 1 58436 KachelY + 1 87752 -0.34035199 -0.90683481 -19.500733 -51.957807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90680527--0.90683481) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dl = 188.199339999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90680527--0.90683481) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dr = 188.199339999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34039992--0.34035199) × cos(-0.90680527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61626486444675 × 6371000     		do = 188.18389002525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34039992--0.34035199) × cos(-0.90683481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.616241600276933 × 6371000     		du = 188.176786031128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90680527)-sin(-0.90683481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61626486444675-0.616241600276933)×R²
    abs(-0.34035199--0.34039992)×2.32641698173497e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32641698173497e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32641698173497e-05×40589641000000     		ar = 35415.4154203834m²