Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58433 / 87743
↖ ↑ ↗
← S 51.942572°
W 19.508972°		 ← 188.28 m → S 51.942572°
W 19.506226°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
S 51.944265°
W 19.508972°		 ← 188.27 m →
35 445 m²		 S 51.944265°
W 19.506226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445812225341797 y=0.669429779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445812225341797 × 217)
    floor (0.445812225341797 × 131072)
    floor (58433.5)     		tx = 58433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669429779052734 × 217)
    floor (0.669429779052734 × 131072)
    floor (87743.5)     		ty = 87743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58433 / 87743 ti = "17/58433/87743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58433/87743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58433 ÷ 217
    58433 ÷ 131072     		x = 0.445808410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87743 ÷ 217
    87743 ÷ 131072     		y = 0.669425964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445808410644531 × 2 - 1) × π
    -0.108383178710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34049580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669425964355469 × 2 - 1) × π
    -0.338851928710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06453472986259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34049580} λ = -0.34049580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06453472986259))-π/2
    2×atan(0.344888283662071)-π/2
    2×0.332113713669237-π/2
    0.664227427338474-1.57079632675     		φ = -0.90656890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34049580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.508972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90656890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.942572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58433 KachelY 87743 -0.34049580 -0.90656890 -19.508972 -51.942572
    Oben rechts KachelX + 1 58434 KachelY 87743 -0.34044786 -0.90656890 -19.506226 -51.942572
    Unten links KachelX 58433 KachelY + 1 87744 -0.34049580 -0.90659845 -19.508972 -51.944265
    Unten rechts KachelX + 1 58434 KachelY + 1 87744 -0.34044786 -0.90659845 -19.506226 -51.944265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90656890--0.90659845) × R
    2.95499999999338e-05 × 6371000     		dl = 188.263049999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90656890--0.90659845) × R
    2.95499999999338e-05 × 6371000     		dr = 188.263049999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34049580--0.34044786) × cos(-0.90656890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.616450997813893 × 6371000     		do = 188.280002181141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34049580--0.34044786) × cos(-0.90659845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.616427730073519 × 6371000     		du = 188.272895614319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90656890)-sin(-0.90659845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616450997813893-0.616427730073519)×R²
    abs(-0.34044786--0.34049580)×2.32677403744219e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32677403744219e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32677403744219e-05×40589641000000     		ar = 35445.4985151565m²