Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58432 / 87755
↖ ↑ ↗
← S 51.962885°
W 19.511718°		 ← 188.16 m → S 51.962885°
W 19.508972°		 →
↑
188.14 m
↓
↑
188.14 m
↓
S 51.964577°
W 19.511718°		 ← 188.15 m →
35 398 m²		 S 51.964577°
W 19.508972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445804595947266 y=0.669521331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445804595947266 × 217)
    floor (0.445804595947266 × 131072)
    floor (58432.5)     		tx = 58432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669521331787109 × 217)
    floor (0.669521331787109 × 131072)
    floor (87755.5)     		ty = 87755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58432 / 87755 ti = "17/58432/87755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58432/87755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58432 ÷ 217
    58432 ÷ 131072     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87755 ÷ 217
    87755 ÷ 131072     		y = 0.669517517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669517517089844 × 2 - 1) × π
    -0.339035034179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.06510997265803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06510997265803))-π/2
    2×atan(0.344689946213226)-π/2
    2×0.331936449323503-π/2
    0.663872898647005-1.57079632675     		φ = -0.90692343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90692343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.962885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58432 KachelY 87755 -0.34054373 -0.90692343 -19.511718 -51.962885
    Oben rechts KachelX + 1 58433 KachelY 87755 -0.34049580 -0.90692343 -19.508972 -51.962885
    Unten links KachelX 58432 KachelY + 1 87756 -0.34054373 -0.90695296 -19.511718 -51.964577
    Unten rechts KachelX + 1 58433 KachelY + 1 87756 -0.34049580 -0.90695296 -19.508972 -51.964577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90692343--0.90695296) × R
    2.95300000000553e-05 × 6371000     		dl = 188.135630000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90692343--0.90695296) × R
    2.95300000000553e-05 × 6371000     		dr = 188.135630000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.34049580) × cos(-0.90692343) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.616171804541124 × 6371000     		do = 188.155473063338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.34049580) × cos(-0.90695296) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61614854609677 × 6371000     		du = 188.148370817556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90692343)-sin(-0.90695296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616171804541124-0.61614854609677)×R²
    abs(-0.34049580--0.34054373)×2.32584443542461e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32584443542461e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32584443542461e-05×40589641000000     		ar = 35398.0803727397m²