Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58431 / 88241
↖ ↑ ↗
← S 52.777847°
W 19.514465°		 ← 184.75 m → S 52.777847°
W 19.511718°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
S 52.779508°
W 19.514465°		 ← 184.75 m →
34 134 m²		 S 52.779508°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445796966552734 y=0.673229217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445796966552734 × 217)
    floor (0.445796966552734 × 131072)
    floor (58431.5)     		tx = 58431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673229217529297 × 217)
    floor (0.673229217529297 × 131072)
    floor (88241.5)     		ty = 88241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58431 / 88241 ti = "17/58431/88241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58431/88241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58431 ÷ 217
    58431 ÷ 131072     		x = 0.445793151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88241 ÷ 217
    88241 ÷ 131072     		y = 0.673225402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445793151855469 × 2 - 1) × π
    -0.108413696289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34059167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673225402832031 × 2 - 1) × π
    -0.346450805664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.08840730587337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34059167} λ = -0.34059167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08840730587337))-π/2
    2×atan(0.336752410403935)-π/2
    2×0.324824560987955-π/2
    0.64964912197591-1.57079632675     		φ = -0.92114720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34059167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.514465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92114720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.777847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58431 KachelY 88241 -0.34059167 -0.92114720 -19.514465 -52.777847
    Oben rechts KachelX + 1 58432 KachelY 88241 -0.34054373 -0.92114720 -19.511718 -52.777847
    Unten links KachelX 58431 KachelY + 1 88242 -0.34059167 -0.92117620 -19.514465 -52.779508
    Unten rechts KachelX + 1 58432 KachelY + 1 88242 -0.34054373 -0.92117620 -19.511718 -52.779508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92114720--0.92117620) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dl = 184.758999999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92114720--0.92117620) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dr = 184.758999999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34059167--0.34054373) × cos(-0.92114720) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604907044014987 × 6371000     		do = 184.754181549583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34059167--0.34054373) × cos(-0.92117620) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604883951173923 × 6371000     		du = 184.747128401512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92114720)-sin(-0.92117620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604907044014987-0.604883951173923)×R²
    abs(-0.34054373--0.34059167)×2.3092841063943e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3092841063943e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3092841063943e-05×40589641000000     		ar = 34134.3462650598m²