Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58431 / 87396
↖ ↑ ↗
← S 51.351201°
W 19.514465°		 ← 190.75 m → S 51.351201°
W 19.511718°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
S 51.352916°
W 19.514465°		 ← 190.74 m →
36 373 m²		 S 51.352916°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445796966552734 y=0.666782379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445796966552734 × 217)
    floor (0.445796966552734 × 131072)
    floor (58431.5)     		tx = 58431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666782379150391 × 217)
    floor (0.666782379150391 × 131072)
    floor (87396.5)     		ty = 87396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58431 / 87396 ti = "17/58431/87396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58431/87396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58431 ÷ 217
    58431 ÷ 131072     		x = 0.445793151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87396 ÷ 217
    87396 ÷ 131072     		y = 0.666778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445793151855469 × 2 - 1) × π
    -0.108413696289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34059167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.33355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04790062569443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34059167} λ = -0.34059167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04790062569443))-π/2
    2×atan(0.350673171123121)-π/2
    2×0.337274400478234-π/2
    0.674548800956467-1.57079632675     		φ = -0.89624753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34059167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.514465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89624753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.351201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58431 KachelY 87396 -0.34059167 -0.89624753 -19.514465 -51.351201
    Oben rechts KachelX + 1 58432 KachelY 87396 -0.34054373 -0.89624753 -19.511718 -51.351201
    Unten links KachelX 58431 KachelY + 1 87397 -0.34059167 -0.89627746 -19.514465 -51.352916
    Unten rechts KachelX + 1 58432 KachelY + 1 87397 -0.34054373 -0.89627746 -19.511718 -51.352916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89624753--0.89627746) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dl = 190.684029999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89624753--0.89627746) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dr = 190.684029999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34059167--0.34054373) × cos(-0.89624753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624544995651404 × 6371000     		do = 190.752117460223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34059167--0.34054373) × cos(-0.89627746) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624521620376071 × 6371000     		du = 190.744978049456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89624753)-sin(-0.89627746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624544995651404-0.624521620376071)×R²
    abs(-0.34054373--0.34059167)×2.33752753335814e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33752753335814e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33752753335814e-05×40589641000000     		ar = 36372.7018053892m²