Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58429 / 89321
↖ ↑ ↗
← S 54.535426°
W 19.519959°		 ← 177.21 m → S 54.535426°
W 19.517212°		 →
↑
177.24 m
↓
↑
177.24 m
↓
S 54.537020°
W 19.519959°		 ← 177.20 m →
31 408 m²		 S 54.537020°
W 19.517212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445781707763672 y=0.681468963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445781707763672 × 217)
    floor (0.445781707763672 × 131072)
    floor (58429.5)     		tx = 58429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681468963623047 × 217)
    floor (0.681468963623047 × 131072)
    floor (89321.5)     		ty = 89321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58429 / 89321 ti = "17/58429/89321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58429/89321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58429 ÷ 217
    58429 ÷ 131072     		x = 0.445777893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89321 ÷ 217
    89321 ÷ 131072     		y = 0.681465148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445777893066406 × 2 - 1) × π
    -0.108444213867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34068755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681465148925781 × 2 - 1) × π
    -0.362930297851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.14017915746304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34068755} λ = -0.34068755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14017915746304))-π/2
    2×atan(0.319761728984097)-π/2
    2×0.309486791156045-π/2
    0.61897358231209-1.57079632675     		φ = -0.95182274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34068755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.519959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95182274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.535426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58429 KachelY 89321 -0.34068755 -0.95182274 -19.519959 -54.535426
    Oben rechts KachelX + 1 58430 KachelY 89321 -0.34063961 -0.95182274 -19.517212 -54.535426
    Unten links KachelX 58429 KachelY + 1 89322 -0.34068755 -0.95185056 -19.519959 -54.537020
    Unten rechts KachelX + 1 58430 KachelY + 1 89322 -0.34063961 -0.95185056 -19.517212 -54.537020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95182274--0.95185056) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dl = 177.241220000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95182274--0.95185056) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dr = 177.241220000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34068755--0.34063961) × cos(-0.95182274) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580199479021483 × 6371000     		do = 177.20785522784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34068755--0.34063961) × cos(-0.95185056) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580176820118876 × 6371000     		du = 177.200934615744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95182274)-sin(-0.95185056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580199479021483-0.580176820118876)×R²
    abs(-0.34063961--0.34068755)×2.26589026066648e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26589026066648e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26589026066648e-05×40589641000000     		ar = 31407.9231473761m²