Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58428 / 88074
↖ ↑ ↗
← S 52.499504°
W 19.522705°		 ← 185.89 m → S 52.499504°
W 19.519959°		 →
↑
185.91 m
↓
↑
185.91 m
↓
S 52.501176°
W 19.522705°		 ← 185.89 m →
34 558 m²		 S 52.501176°
W 19.519959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445774078369141 y=0.671955108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445774078369141 × 217)
    floor (0.445774078369141 × 131072)
    floor (58428.5)     		tx = 58428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671955108642578 × 217)
    floor (0.671955108642578 × 131072)
    floor (88074.5)     		ty = 88074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58428 / 88074 ti = "17/58428/88074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58428/88074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58428 ÷ 217
    58428 ÷ 131072     		x = 0.445770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88074 ÷ 217
    88074 ÷ 131072     		y = 0.671951293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.10845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34073548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671951293945312 × 2 - 1) × π
    -0.343902587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08040184363683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34073548} λ = -0.34073548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08040184363683))-π/2
    2×atan(0.339459088758848)-π/2
    2×0.327253565597159-π/2
    0.654507131194317-1.57079632675     		φ = -0.91628920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34073548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91628920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.499504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58428 KachelY 88074 -0.34073548 -0.91628920 -19.522705 -52.499504
    Oben rechts KachelX + 1 58429 KachelY 88074 -0.34068755 -0.91628920 -19.519959 -52.499504
    Unten links KachelX 58428 KachelY + 1 88075 -0.34073548 -0.91631838 -19.522705 -52.501176
    Unten rechts KachelX + 1 58429 KachelY + 1 88075 -0.34068755 -0.91631838 -19.519959 -52.501176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91628920--0.91631838) × R
    2.9179999999962e-05 × 6371000     		dl = 185.905779999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91628920--0.91631838) × R
    2.9179999999962e-05 × 6371000     		dr = 185.905779999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34073548--0.34068755) × cos(-0.91628920) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608768297281419 × 6371000     		do = 185.894723057396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34073548--0.34068755) × cos(-0.91631838) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608745147125564 × 6371000     		du = 185.887653878809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91628920)-sin(-0.91631838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608768297281419-0.608745147125564)×R²
    abs(-0.34068755--0.34073548)×2.31501558549674e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31501558549674e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31501558549674e-05×40589641000000     		ar = 34558.2463896731m²