Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58428 / 87404
↖ ↑ ↗
← S 51.364921°
W 19.522705°		 ← 190.66 m → S 51.364921°
W 19.519959°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
S 51.366636°
W 19.522705°		 ← 190.65 m →
36 354 m²		 S 51.366636°
W 19.519959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445774078369141 y=0.666843414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445774078369141 × 217)
    floor (0.445774078369141 × 131072)
    floor (58428.5)     		tx = 58428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666843414306641 × 217)
    floor (0.666843414306641 × 131072)
    floor (87404.5)     		ty = 87404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58428 / 87404 ti = "17/58428/87404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58428/87404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58428 ÷ 217
    58428 ÷ 131072     		x = 0.445770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87404 ÷ 217
    87404 ÷ 131072     		y = 0.666839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.10845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34073548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.33367919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04828412089139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34073548} λ = -0.34073548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04828412089139))-π/2
    2×atan(0.350538715429496)-π/2
    2×0.337154663407544-π/2
    0.674309326815089-1.57079632675     		φ = -0.89648700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34073548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89648700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.364921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58428 KachelY 87404 -0.34073548 -0.89648700 -19.522705 -51.364921
    Oben rechts KachelX + 1 58429 KachelY 87404 -0.34068755 -0.89648700 -19.519959 -51.364921
    Unten links KachelX 58428 KachelY + 1 87405 -0.34073548 -0.89651693 -19.522705 -51.366636
    Unten rechts KachelX + 1 58429 KachelY + 1 87405 -0.34068755 -0.89651693 -19.519959 -51.366636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89648700--0.89651693) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dl = 190.684029999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89648700--0.89651693) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dr = 190.684029999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34073548--0.34068755) × cos(-0.89648700) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.624357954351171 × 6371000     		do = 190.655212387217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34073548--0.34068755) × cos(-0.89651693) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.624334574600267 × 6371000     		du = 190.64807309902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89648700)-sin(-0.89651693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624357954351171-0.624334574600267)×R²
    abs(-0.34068755--0.34073548)×2.33797509039402e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33797509039402e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33797509039402e-05×40589641000000     		ar = 36354.2235669668m²