Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58426 / 89159
↖ ↑ ↗
← S 54.276451°
W 19.528198°		 ← 178.33 m → S 54.276451°
W 19.525452°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
S 54.278055°
W 19.528198°		 ← 178.32 m →
31 800 m²		 S 54.278055°
W 19.525452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445758819580078 y=0.680233001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445758819580078 × 217)
    floor (0.445758819580078 × 131072)
    floor (58426.5)     		tx = 58426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680233001708984 × 217)
    floor (0.680233001708984 × 131072)
    floor (89159.5)     		ty = 89159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58426 / 89159 ti = "17/58426/89159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58426/89159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58426 ÷ 217
    58426 ÷ 131072     		x = 0.445755004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89159 ÷ 217
    89159 ÷ 131072     		y = 0.680229187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445755004882812 × 2 - 1) × π
    -0.108489990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34083136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680229187011719 × 2 - 1) × π
    -0.360458374023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13241337972459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34083136} λ = -0.34083136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13241337972459))-π/2
    2×atan(0.32225459449223)-π/2
    2×0.31174677327187-π/2
    0.62349354654374-1.57079632675     		φ = -0.94730278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34083136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.528198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94730278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.276451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58426 KachelY 89159 -0.34083136 -0.94730278 -19.528198 -54.276451
    Oben rechts KachelX + 1 58427 KachelY 89159 -0.34078342 -0.94730278 -19.525452 -54.276451
    Unten links KachelX 58426 KachelY + 1 89160 -0.34083136 -0.94733077 -19.528198 -54.278055
    Unten rechts KachelX + 1 58427 KachelY + 1 89160 -0.34078342 -0.94733077 -19.525452 -54.278055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94730278--0.94733077) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94730278--0.94733077) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34083136--0.34078342) × cos(-0.94730278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583874931501824 × 6371000     		do = 178.330433021483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34083136--0.34078342) × cos(-0.94733077) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58385220777017 × 6371000     		du = 178.323492608927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94730278)-sin(-0.94733077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583874931501824-0.58385220777017)×R²
    abs(-0.34078342--0.34083136)×2.27237316541284e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27237316541284e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27237316541284e-05×40589641000000     		ar = 31800.0290337815m²